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Victor D'Hondt y Badajoz: una pincelada de matemática electoral

07/05/2019
Credit Pixabay

En plena temporada de elecciones, los españoles estamos eligiendo a nuestros representantes en diversos ámbitos. Una vez pasadas las elecciones para el Congreso de los Diputados, y el Senado, aún nos quedan las de Cámaras Autonómicas, Diputaciones Forales, Ayuntamientos y Parlamento Europeo. Con la excepción del Senado, todas estas elecciones se resuelven con criterios proporcionales. En este artículo de divulgación, Adolfo Quirós, profesor del Departamento de Matemáticas de la UAM, nos clarifica y ayuda a acercarnos a este tema.

 

Por Adolfo Quirós Gracián

Las elecciones y las matemáticas guardan una fuerte relación, ya que su resolución depende de criterios proporcionales. Respecto al Congreso de los Diputados, la Constitución de 1978 hace dos referencias a la proporcionalidad en su artículo 68

Artículo 68. 2. La circunscripción electoral es la provincia. Las poblaciones de Ceuta y Melilla estarán representadas cada una de ellas por un Diputado. La ley distribuirá el número total de Diputados, asignando una representación mínima inicial a cada circunscripción y distribuyendo los demás en proporción a la población.

Artículo 68. 3. La elección se verificará en cada circunscripción atendiendo a criterios de representación proporcional.

 

¿Qué es un reparto proporcional?

 

Simplemente, el que atribuye a cada partido una cantidad de escaños que se calcula mediante una regla de tres a partir de los votos que recibe, los votos totales emitidos y los escaños a repartir. Es decir:

escaños del partido = votos al partido x (nº de escaños a repartir / nº total de votos).

El número de escaños que corresponden a un partido por esta regla se llama la cuota del partido.

Por ejemplo, en las elecciones de junio de 2016, el PP obtuvo en la circunscripción de Madrid 1.325.665 votos de un total de 3.447.658 que lograron el conjunto de los partidos que se presentaban. Como se repartían 36 escaños su cuota fue

Cuota del PP = 1.325.665 x (36 / 3.447.658) = 13,84 diputados.

De manera análoga, podemos considerar el reparto entre las provincias de los 248 escaños del Congreso (los diputados son 350 pero, atendiendo a que la Constitución prescribe "una representación mínima inicial a cada circunscripción", se asignan a priori 2 a cada provincia, además de uno a Ceuta y otro a Melilla).

Para las elecciones generales del 28 de abril de 2019, dado que según el último censo la población total de España, excluidas Ceuta y Melilla, son 46.563.458 personas, de las que 257.049 viven en la provincia de Guadalajara, a esa circunscripción le corresponderían, además de las dos iniciales,

Cuota de Guadalajara = 257.049 x (248 / 46.563.458) = 1,37 diputados.

Y aquí surge el problema. ¿Cómo va a mandar el PP madrileño 13,84 o los alcarreños 3,37 diputados al Congreso? ¿Hay algún diputado dispuesto a ser troceado?

Es por tanto necesario establecer un procedimiento que asigne, de manera razonablemente proporcional, diputados enteros a las provincias y a los partidos. En el caso del Congreso de los Diputados el procedimiento, o más bien procedimientos, lo determina la Ley Orgánica del Régimen Electoral General en sus artículos 162 y 163.

 

El método D'Hondt

 

Para la asignación de escaños a los partidos (artículo 163), se utiliza el método D'Hondt, llamado así por su proponente en Europa, el jurista y matemático belga Victor D'Hondt. En Estados Unidos se conoce como método Jefferson, ya que Thomas Jefferson propuso un procedimiento equivalente.

Recordemos cómo funciona a la vez que damos como ejemplo los resultados electorales de las elecciones al Congreso en la provincia de Badajoz en 1989. Se repartían 6 escaños y los votos que recibieron los diferentes partidos fueron, junto a sus correspondientes cuotas,

BADAJOZ, 6 ESCAÑOS VOTOS CUOTA
PSOE 204.473 3,33
PP 87.831 1,43
CDS 37.215 0,61
IU 29.940 0,49
5 PARTIDOS SUMADOS 9.500  
TOTAL  368.959  

NOTA: CDS son las siglas del ya desaparecido Centro Democrático y Social

El método D'Hondt nos dice que debemos dividir los votos de cada partido sucesivamente entre 1, 2, 3,… (por eso se llama también método de los divisores naturales) y asignar los escaños a los partidos que obtengan los mayores cocientes. En nuestro ejemplo (ignorando los partidos pequeños y los decimales)

  VOTOS/1 VOTOS/2 VOTOS/3 VOTOS/4 VOTOS/5 VOTOS/6
PSOE 204.473 102.237 68.158 51.118 40.895 34.079
PP 87.831 43.916 29.277 21.958 17.566 14.639
CDS 37.215 18.608 12.405 9.304 7.443 6.203
IU 29.940 14.970 9.980 7.485 5.988 4.990

Los 6 cocientes mayores son los marcados en rojo y negrita, de modo que el PSOE obtuvo 4 escaños y el PP 2.

 

El método de los restos mayores

 

En el caso del reparto de diputados entre provincias, la Ley Electoral prescribe que se siga otro procedimiento: el conocido, entre otros nombres, como método de los restos mayores (pronto veremos por qué).

Para poder comparar con D'Hondt, y porque 50 provincias son muchas para presentar aquí la tabla de reparto (para las elecciones de abril de 2019 puede consultarse en el anexo del Real Decreto por el que se convocan), vamos a describir el método de los restos mayores usando de nuevo el ejemplo de la asignación de escaños a partidos en Badajoz en 1989.

Se empieza por calcular las cuotas y se asignan los escaños enteros que hayan resultado:

BADAJOZ, 6 ESCAÑOS        CUOTA        ESCAÑOS ENTEROS
PSOE 3,33 3
PP 1,43 1
CDS 0,61  
IU 0,49  

En nuestro ejemplo, quedan distribuidos así 4 escaños, 3 para el PSOE y 1 para el PP, y nos faltan por asignar 2. Para decidir quién se los lleva, miramos ahora las partes decimales (los "restos" del nombre del método), y damos escaños a quienes los tengan mayores:

BADAJOZ, 6 ESCAÑOS    CUOTA    ESCAÑOS ENTEROS POR MAYORES RESTOS ESCAÑOS TOTALES
PSOE 3,33 3   3
PP 1,43 1   1
CDS 0,61   1 1
IU 0,49   1 1

El reparto definitivo resulta por tanto ser 3 escaños para el PSOE, 1 para el PP, 1 para el CDS y 1 para IU, muy distinto de los 4 para el PSOE, 2 para el PP y ningún escaño para CDS e IU que nos dio el método D'Hondt.

 

¿Qué procedimiento es más justo?

 

Es difícil decirlo. ¿Es justo que, como sucede con los restos mayores, el PP e IU obtengan los mismos diputados, a pesar de que el primero cuente con casi el triple de votos que el segundo? ¿Es justo, como sucede al usar D'Hondt, que el resto 0,33 del PSOE se transforme en un cuarto diputado, mientras el 0,61 del CDS se esfuma? De hecho, hay diferentes "medidas de injusticia", todas ellas razonables, y dependiendo de cuál tomemos es un método u otro (estos dos no son los únicos) el que resulta ser más justo.

Por concretar, podríamos pedir que el método cumpla la siguiente condición de cuota: el número de escaños que le asigna el método debe ser siempre, o bien el redondeo hacia arriba, o bien el redondeo hacia abajo de su cuota (que normalmente es un número con decimales).

Es inmediato observar que el método de los restos mayores cumplirá siempre la condición de cuota: al fin y al cabo, es un método de redondeo.

En nuestro ejemplo de Badajoz con D'Hondt también se satisface la condición de cuota, pero esto no sucede siempre. El lector puede entretenerse (o puede hacer trampa y mirar más abajo) buscando un número de escaños y un reparto de votos con el que, si se usa d'Hont, un partido obtenga más escaños de los que corresponderían a redondear hacia arriba su cuota.

Esto parece coincidir con la percepción que mucha gente tiene de que "d'Hont quita escaños a los partidos pequeños para dárselos a los grandes". Pero esa percepción no es correcta. Se puede demostrar usando aritmética elemental que, con el método D'Hondt, ningún partido obtendrá nunca menos escaños de los que indica la parte entera de su cuota. Es decir, D'Hondt nunca quita diputados enteros. La ligera ventaja que, efectivamente, puede proporcionar a los partidos grandes viene sólo del reparto de restos decimales, y la falta de proporcionalidad que se aprecia en nuestro Congreso de los Diputados no se debe tanto al método como a la existencia de 52 circunscripciones, de las que 21 reparten 4 escaños o menos, lo que hace muy difícil la proporcionalidad. De hecho, si se presentan, como sucederá en abril, 5 partidos (o más en algunos casos) "con pretensiones", en ninguna de esas 21 circunscripciones pueden obtener todos ellos escaño.

Aun así, se podría pensar que el método de los restos mayores es mejor, porque cumple siempre la condición de cuota.

 

Una situación paradójica

 

Si volvemos a nuestro ejemplo pacense, parece que la principal queja que podíamos poner al reparto usando los restos mayores es que no discriminaba demasiado bien entre los resultados del PP, el CDS e IU. Una forma de paliar esto sería (olvidemos por un momento la Ley Electoral) aumentar el número de escaños a elegir en Badajoz de 6 a 7. Veamos que sucedería entonces.

Hay que volver a calcular las cuotas (usando el número de votos que ya tenemos), y la tabla quedaría ahora así:

BADAJOZ, 7 ESCAÑOS    CUOTA    ESCAÑOS ENTEROS POR MAYORES RESTOS ESCAÑOS TOTALES
PSOE 3,88 3 1 4
PP 1,67 1 1 2
CDS 0,71   1 1
IU 0,57      

¡Al subir el número total de escaños de 6 a 7 IU pierde el escaño que tenía! Quizás el método de los restos mayores no sea tan justo después de todo.

En mi Departamento nos gusta llamarla a esta sorprendente situación paradoja de Badajoz, por este ejemplo que descubrió mi colega Eugenio Hernández. Pero en el mundo se conoce como paradoja de Alabama.

¿Se produce esta paradoja sólo en situaciones muy particulares? No es fácil dar una estimación precisa para la frecuencia con que aparece (depende de demasiados parámetros), pero sí se pueden hacer simulaciones. Así fue de hecho como se descubrió la paradoja la primera vez: simulando distintos tamaños para la Cámara de Representantes de los Estados Unidos y viendo cuántos escaños corresponderían en cada caso a cada Estado.

Nosotros hemos hecho una simulación similar a partir de una de las propuestas para hacer más proporcional el Congreso de los Diputados sin necesidad de modificar la Constitución: aumentar el número de diputados de 350 a 400. Si, manteniendo todos los demás requisitos de la Ley Electoral, vamos variando la cantidad de diputados de uno en uno, resulta que, en esos 50 pasos, la paradoja de Alabama-Badajoz aparecería 5 veces (en dos de ellas Guadalajara perdería un escaño al añadir un diputado; las otras provincias afectadas en algún paso serían Huesca, Lérida y Soria). Parece que no es un fenómeno excepcional.

 

¿Existe un método perfecto de representación proporcional?

 

Está claro que el método D'Hondt no puede sufrir la paradoja de Alabama, porque la asignación de un escaño no altera cómo se han distribuido los anteriores. En nuestro ejemplo de Badajoz, sin necesidad de volver a calcular la tabla con la que hemos asignado los seis primeros diputados, un eventual séptimo escaño correspondería al PSOE (aquí aparece un ejemplo de violación de la condición de cuota), el octavo al CDS, etc.

Esta observación se extiende a cualquier método de divisor: los que funcionan como D'Hondt pero utilizando quizás otros números para dividir (por ejemplo, el método de Sainte-Laguë, que algunos partidos han propuesto como una forma de mejorar la proporcionalidad utiliza como divisores sólo los números impares: 1,3, 5, 7,…). Ninguno de ellos puede sufrir la paradoja de Alabama por la razón que ya hemos indicado: la asignación de un escaño no altera cómo se han distribuido los anteriores. Por desgracia es un teorema, demostrado por Michel BalinskiPeyton Young que ningún método de divisores satisface la condición de cuota.

Quizás debamos concluir que no hay método perfecto de distribución proporcional de escaños y que, aunque las matemáticas nos ayudan a entender las ventajas e inconvenientes de cada uno de ellos, optar por uno u otro (con sus diversas componentes de definición de circunscripciones, reparto de escaños entre ellas y posterior asignación a partidos) debe basarse también en consideraciones políticas. En el buen sentido de la palabra Política, que lo tiene.

 


Profesor Titular de Álgebra, Universidad Autónoma de Madrid

Consulta el artículo original en The Conversation, compartido bajo licencia de Creative Commons.