Supongamos que tengo dos tarjetas y en cada una escribo un número real distinto (uno es estrictamente mayor que el otro). Les doy la vuelta y las pongo sobre la mesa. Te doy la posibilidad de levantar una de las dos y mirar el número. Una vez que lo has mirado, o te quedas esa carta o bien coges la otra. Ganas si el número que hay escrito en la tarjeta que te quedas es el más grande de los dos. ¿Cuál es la mejor estrategia para ganar este juego? O lo que es lo mismo, ¿cómo aumentas tu probabilidad de ganar este juego?

Bien, pues puede parecer que independientemente de la estrategia que usemos la probabilidad de ganar es un medio ya que sólo hay dos cartas y no tenemos ninguna otra información disponible. Thomas Cover, de la Universidad de Stanford, demostró en 1987 que existe una estrategia óptima de ganar este juego. Para tener más de una posibilidad sobre dos de ganar, hay que elegir antes de jugar un número Z arbitrario y quedarte la primera carta si el número que hay en ella es estrictamente superior a Z.

¿¿¿Qué???

La explicación es la siguiente.

Llamamos X al más pequeño de los números escritos en las tarjetas e Y al más grande. Tenemos tres posibilidades:
1. X es estrictamente superior a Z, lo que quiere decir que Y también es estrictamente superior a Z. Según la estrategia descrita anteriormente, nos quedamos la primera carta y entonces la probabilidad de ganar es igual a un medio.
2. Y es estrictamente inferior a Z, lo que implica que X es también estrictamente inferior a Z. En este caso, pedimos la otra carta y de nuevo la probabilidad de ganar es igual a un medio.
3. Z es mayor o igual que X y menor o igual que Y (Z está comprendido entre X e Y). En este caso, rechazamos la primera carta si el número que está escrito en ella es inferior o igual a Z y la guardamos si es superior o igual. En este caso, siempre ganamos.

Bien, si cada una de estas situaciones se produce con probabilidad respectiva a, b, y c (desconocidas las tres pero cuya suma es igual a 1), entonces la probabilidad total de ganar es igual a

p = a/2 + b/2 + c.

Como Z lo hemos elegido aleatoriamente, la probabilidad c es estrictamente positiva (recordemos que X es estrictamente
menor que Y). Como a + b + c = 1, tenemos

p = 1/2 (a + b) + c = 1/2 (1 - c) + c = 1/2 (1+c) > 1/2.

¡¡¡Sorprendente!!!

Thomas M. Cover, Pick the Largest Number. Chapter in Open Problems in Communication and Computation, Springer-Verlag, 1987.