Recordemos qué decía el acertijillo anterior:
Cien prisioneros estaban colocados en una fila, cada uno podía ver a todos los que tenía delante y el guardián ponía en la cabeza de cada uno un sombrero negro o uno blanco, y después les preguntaba, empezando por el que podía ver a todos los demás, cuál era el color de su sombrero. Los prisioneros que acertaban eran liberados. Los prisioneros podían escuchar lo que decía el resto y si era correcto o no y podían acordar una estrategia de antemano y se pedía la mejor estrategia.

El último prisionero de la cola (el primero que habla) no tiene ninguna información sobre su sombrero así que tiene un 50% de acertar el color de su sombrero lo haga como lo haga. Pero, precisamente por eso, puede usar su respuesta para comunicar información al resto. Si, por ejemplo, dijera el color del sombrero del prisionero que tiene delante, éste adivinaría, pero el siguiente estaría en la misma situación que el primero. Repitiendo esta idea, 50 prisioneros se salvarían seguro y 75 en media, pues es de esperar que de los otros 50 se salvaran la mitad.

Pero se puede hacer mejor. En lugar de mirar al sombrero del que tiene delante, el primer prisionero cuenta el número total de sombreros blancos que ve. Si es impar dice “blanco” y si es par dice “negro”. Ahora, el que tiene delante puede contar el número de sombreros blancos que ve: si tiene la misma paridad que decía el primero su sombrero será “negro” y si cambia será “blanco”. El siguiente en la fila sabe también por las respuestas de los dos anteriores la paridad de los sombreros blancos que quedan y puede acertar de la misma manera. Y así sucesivamente, adivinarán todos menos el primer prisionero. Luego se librarán 99 con seguridad y el otro con probabilidad 1/2. Esta es la mejor estrategia.

Es interesante comprobar que si hubiera un número mayor de colores de sombreros, eso no supondría un problema. En el caso de haber n colores, asignaríamos a cada uno un número del 0 al n-1 y el primero de los prisioneros sumaría todos los sombreros que ve,
módulo n. Con esta información, el siguiente podría adivinar el color de su sombrero sin más que calcular el número que le hace falta sumar a lo que él ve, módulo n, para obtener lo que decía el primero, y así sucesivamente... En cuanto a la relación que prometimos entre el acertijo y el Axioma de Elección, lee el artículo “El Axioma de Elección” en este mismo número de la revista.

Enhorabuena por sus correctísimas respuestas a Alejandro Gimeno, Javier Pérez y Mónica Vallejo.

Ponemos cifras en las caras de dos dados para hacer un calendario, de manera que las dos caras frontales de los dados indiquen en qué día del mes estamos, como en la figura.

Con estos dados podemos formar las combinaciones 01, 02, ..., 30 y 31. ¿Cuáles son las tres cifras que no se ven en el dado de la derecha y las 4 que no se ven en el de la izquierda?