Si preguntamos a una persona de la calle por el nombre de algún teorema, es prácticamente seguro que nombrará el teorema de Pitágoras. Muchos (sobre todo aquellos que leyeron el número anterior de la hoja volante) serán capaces de recitar como loros el enunciado del mismo: “En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”. Y algunos incluso podrán demostrarlo; no en vano, existen cientos de pruebas de este hecho.

Otra cosa bien distinta es si hablamos del recíproco del Teorema de Pitágoras, a saber, “Si en un triángulo se tiene que la suma de los cuadrados de dos de los lados es igual al cuadrado del tercero entonces el triángulo es rectángulo”.

Los dos enunciados dicen cosas distintas y no deben ser confundidos. No es lo mismo decir que en los triángulos rectángulos se satisface cierta cosa que decir que siempre que se satisface esa cosa el triángulo es rectángulo. Por ejemplo, en todo triángulo rectángulo la suma de sus ángulos interiores es 180º, pero el hecho de que la suma de los ángulos interiores de un triángulo sea de 180º no implica que el triángulo sea rectángulo, pues como bien sabemos (¡si no lo sabes probar a qué esperas para buscarlo!) esto ocurre en cualquier triángulo.

Si bien, como hemos dicho, existen muchas pruebas muy conocidas del teorema de Pitágoras, no son tan conocidas las de su recíproco. De hecho, pese a que como veremos se puede probar con argumentos muy sencillos, podríamos hacer sonrojar a más de un matemático si le pedimos una demostración del recíproco del teorema de Pitágoras. Veamos una posible prueba

Tenemos un triángulo ABC en el que se satisface la fórmula a² + b² = c².

Dibujamos un triángulo adyacente AB’C, rectángulo en C y tal que el lado B’C mida lo mismo que el lado BC. Estos dos triángulos han de ser iguales (congruentes) porque:
1. Comparten el lado AC.
2. El lado B’C mide lo mismo que BC.
3. Usando el teorema de Pitágoras (se puede usar el teorema para probar su recíproco, lo que no podríamos hacer es usarlo para probar el teorema de Pitágoras)

|AB’|² = a² + b² = c²,

de donde AB’ mide lo mismo que AB.

Al ser los tres lados iguales, los triángulos son congruentes, por lo que ABC también es rectángulo. Esto termina la prueba. Y tras ello, la pregunta obligada ¿qué tiene que ver todo esto con el billar?

Y la respuesta, que comienza con otra pregunta ¿qué es lo más importante en el billar? Jugar posición. Cualquier experto nos lo diría. Los burdos aficionados nos ponemos muy contentos con tan sólo golpear una bola con la bola blanca y meterla en cualquier agujero sin pensar en nada más, pero una pequeñísima reflexión nos convencerá de la importancia de saber, o mejor controlar, dónde irá a parar la bola blanca tras chocar con la otra.

¿Tienes una mesa de billar cerca? Si no, haz un esfuerzo mental. Imaginemos que golpeas a la bola blanca sin que ésta tenga ningún tipo de rotación horizontal (o sea, sin efecto). Imaginemos también que la bola blanca choca con otra bola. Una posibilidad es que lo hayas hecho de modo “tan perfecto” que las dos bolas continúen en la misma línea recta tras el choque. Pero lo más probable es que la bola golpeada y la bola blanca salgan cada una en una dirección. ¿Qué ángulo formarán entonces las direcciones de las bolas?

Si miras el dibujo o si haces algunas pruebas en una mesa de billar, te será fácil convencerte de la regla más importante del mundo del billar:

La regla de los 90 grados. Si dos bolas (de la misma masa) chocan (suponiéndose el choque totalmente elástico), tras el impacto saldrán despedidas formando un ángulo de 90 grados.

¿Y por qué? Vayamos a un libro de Física y busquemos la fórmula de la conservación del momento lineal. Si llamamos m a la
masa de las bolas, v a la velocidad con que la bola blanca llega al choque y v₁ y v₂ a las velocidades con las que sale cada una de las bolas del choque, tenemos la siguiente ecuación vectorial:

mv = mv₁+ mv₂

y tachando las emes, esto nos dice que los vectores v, v₁ y v₂ forman un triángulo.

Ahora (¿pero ya has guardado el libro de Física?) aplicamos la fórmula de la conservación de la energía mecánica (si suponemos que no hay rozamiento y que el choque es totalmente elástico la energía cinética se conservará) y tenemos la ecuación escalar:

m|v|²/2 = m|v₁|²/2 + m|v₂|²/2.

Tachemos los doses y las emes y el recíproco del teorema de Pitágoras nos dirá que el triángulo que forman los vectores v, v₁ y v₂ es un triángulo rectángulo con catetos v₁ y v₂. Esto prueba la regla de los 90 grados.

Para los que no confíen en la Física y tengan que ver para creer, nos fuimos a echar una partidita de billar y a hacer algunas
fotos. Fotografiando con velocidades de obturación lentas, podemos ver el recorrido de las bolas. El resultado:

Ya sabes, la próxima vez que juegues al billar no olvides tu transportador de ángulos...

Agradecemos la sugerencia del tema por parte de Manuel Silva.