- Oye Carlos ¿Qué hacemos en la cola del cine? ¿No habrás disminuido tu número
de Kevin Bacon actuando en una película?
- No, calla, estamos aquí para entender el infinito.
- ¿Cómo?
- Sí, mira, ¿qué crees que hay más? Gente fuera de la sala o butacas dentro.
- Pues no lo sé. Espero que haya más butacas que personas porque estamos los últimos
de la fila y yo ya que he venido quiero ver la peli.
- ¿Y cómo puedes saberlo?
- Preguntando a la taquillera.
- ¿Y si no hubiera taquillera?
- Pues contando el número de personas que estamos fuera y el número de butacas que hay dentro y viendo cuál es mayor.
- ¿Y si no supieras contar?
- ¿Y si te parto la cara?
- Que no, que no. Digo, ¿podrías saber si hay más personas o más butacas sin saber
contar?
- Pues no, claro.
- ¡Pues sí!
- A ver, listo ¿cómo?
- Muy fácil, les dices a todos que pasen a la sala y que se sienten, que va a comenzar la película. Si después hay gente de pie es que hay más personas que butacas y si hay
butacas vacías es que hay más butacas que personas. ¡Y sin saber contar!
- Ah, ya veo por dónde vas...
- Esa es la base para poder entender el cardinal de los conjuntos infinitos.
- Pues infinito.
- Sí, pero qué hay más ¿números pares o números naturales? (llamaremos naturales
a los números 1, 2, 3, 4, 5... sin incluir el 0, aunque daría igual incluirlo).
- Hombre, hay más naturales, los naturales incluyen a los pares.
- Ya, pero ¿por qué sabes que hay más? ¿los has contado?
- Bueno, es que no se pueden contar, son infinitos...
- ¡Por eso tienes que aprender a hacer las cosas sin saber contar, cebollino!
- Ah, claro, ¡las butacas!
- Imagínate que tienes una fila infinita de butacas numeradas así 1, 2, 3, 4, 5...
- ¡Pedazo de pantalla que debe tener ese cine! ¿no?
- Y ahora los infinitos señores “pares” con camisetas numeradas 2, 4, 6, 8, 10... ¿cómo
les sientas?
- Pues al señor 2 en la butaca 1, al señor 4 en la butaca 2...
- ¿Y al señor 2n?
- En la butaca n.
- Muy bien ¿te sobran butacas?
- No, en la butaca n siempre hay un señor, el 2n.
- ¿Te sobran señores pares?
- No, el señor 2n está en la butaca n.
- Moraleja, hay tantos señores como butacas. Así que hay tantos pares como naturales. ¡Touché!
- ¡Qué fuerte! ¡Es verdad!
- Recuerda que sólo estamos hablando de su cardinal como conjuntos infinitos. Por supuesto, entre 1 y 1000 hay el doble de naturales que de pares. Y donde digo 1000
puedes poner un número (par) tan grande como quieras.
- Entonces impares también habrá los mismos que naturales.
- Claro.
- ¿Y primos también?
- Por supuesto, como los primos son infinitos podemos ordenarlos y asignarles números: el 1 al primero, el 2 al segundo... Si te fijas un conjunto tiene el mismo cardinal que los naturales si y sólo si podemos escribir sus elementos como una lista infinita, ponerlos todos uno detrás de otro y sin terminar nunca.
- Claro, entonces cualquier subconjunto infinito de los naturales tiene su mismo cardinal.
- Efectivamente, a este cardinal se le suele llamar “Aleph sub cero”.
- Pero si cogemos un conjunto que contenga a todos los naturales y tenga más elementos entonces ya es imposible hacer el truco, claro.
- ¡No tan deprisa!
- ¿Cómo que no tan deprisa? ¡Si está clarísimo!
- Tú eres el mismo que sugirió comprar grapas para “La hoja volante”*, ¿verdad?
- A ver, dime un conjunto que contenga a los naturales y que no tenga cardinal mayor.
- Los naturales y una pera.
- ¡Que no se pueden juntar peras con manzanas! Me lo decían en el colegio...
- ¡Sí, claro...! ¿Y tú te crees todo lo que te decían en el colegio?
- De todas formas como el 1 va con el 1, el 2 con el 2 y así sucesivamente, ¿a ver con cuál emparejas la pera?
- Pues pongo la pera con el 1, el 1 con el 2, el 2 con el 3... y así me cuadra todo. Además te he dicho que te puedes olvidar ya de lo de las butacas. Basta con escribir una lista con los elementos del conjunto y esa lista es: pera, 1, 2, 3, 4, 5...
- ¿Y si te pongo una pera y una manzana?
- Ajá. Nada más fácil: pera, manzana, 1, 2, 3, 4, 5... ¡Como si me pones una frutería!
- ¡Cachis! ¡Ah, ya sé! ¿Y si te pongo infinitas frutas? Ahora sí que estás perdido
porque no puedes poner infinitas frutas antes de empezar con el 1, nunca llegarías a escribirlo.
- Bueno, ¿me dejas llamar a las frutas“fruta 1”, “fruta 2”, “fruta 3”...?
- Sí, sí. Llama, a ver si te contestan...
- Vale, ahí va mi lista: fruta 1, 1, fruta 2, 2, fruta 3, 3, fruta 4, 4, fruta 5, 5...
- ¡Jo!
- En realidad, si quitas las palabras“fruta”, acabamos de ver que la unión de los naturales con ellos mismos tiene de nuevo el mismo cardinal. Y si coges la unión de 7 veces los naturales o cualquier número finito de veces también, claro.
- Vale, ya sé. Esto sí que te va a destrozar. Si te doy infinitas copias de los naturales
no podrás hacer ese truco.
- Pero puedo hacer otro. Mira, tenemos así las infinitas listas con los naturales...

1 2 3 4 5 6 7 ...
1 2 3 4 5 6 7 ...
1 2 3 4 5 6 7 ...
1 2 3 4 5 6 7 ...
... ... ... ... ... ...

... y lo que queremos es ponerlos en una sóla lista. Para ello, los vamos a recorrer por diagonales, empezando arriba a la izquierda. Primero 1. Luego 1, 2. Luego 1, 2, 3. Y así sucesivamente. Al final tendremos una lista en la que salen todos.
- Vale, me rindo. No se puede decir que no lo he intentado. Entonces cualquier conjunto
infinito tiene el mismo cardinal que los naturales. Ya está.
- ¿Qué dices? ¡Eso es mentira! El infinito de los naturales es sólo el más pequeño de
los infinitos. Pero hay infinitos infinitos mayores que él. ¿Quieres un ejemplo de un
conjunto con cardinal mayor? Tendrás que mirar la web...

* Para los que nos lean por Internet: “La hoja volante” se imprime en una sóla hoja.

Pulsa aquí para acceder a la sección "Más infinitos"