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FUNCIONES PERIÓDICAS Y TRANSFORMADA DE FOURIER
@ Ramón Fernández Ruiz, 2000.Contacta conmigo ...

Introducción. Funciones periódicas. Su imagen recíproca.
Forma trigonométrica de las series de Fourier. Desarrollo de Fourier y la simetria.


 


Introducción

La difracción tiene lugar cuando alguna perturbación ondulatoria interacciona con distribuciones periódicas de objetos. La condición de periodicidad es la clave principal de la existencia de la difracción. Las redes cristalinas se pueden modelar en forma de distribuciones periódicas de densidad electrónica. Estas distribuciones periódicas tridimensionales son equivalentes, en concepto, a las funciones periódicas unidimensionales.

En este seminario vamos a intentar abordar la aplicación de la herramienta matemática conocida como "Transformada de Fourier" al problema de la difracción.

En resumen podemos decir que un diagrama de difracción representa la imagen de Fourier de una determinada distribución periódica (rendijas, agujeros, átomos, moléculas...), lo cual es más que suficiente para que comencemos abordando los conceptos de periodicidad y transformada de Fourier.

Funciones periódicas

Una función es periódica si cumple la condición de periodicidad, es decir, si después de cada cierto intervalo de tiempo o espacio constante, llamado periodo, la función adquiere el mismo valor de partida. Matemáticamente, esta condición la podemos expresar de la siguiente forma

(Ec.1)

donde T  es el periodo característico de la función f(t).

Ejemplo de función periódica

Figura 1. Ejemplo de función periódica con periodo T.

Como podemos ver en la figura 1, si conocemos la forma de la función en el intervalo [0,T], la conocemos en todo el espacio, debido a que con una simple traslación de periodo T, podemos extender su campo de existencia hasta donde nos sea necesario. Esta es una característica intrínseca de las funciones periódicas. Teniendo en cuenta esta característica, intentemos evaluar cualitativamente el aspecto que debe de tener la imagen recíproca (transformada de Fourier) asociada a una función periódica f(t). Consideremos para ello que la función f(t), solo se encuentra definida en el intervalo acotado 0,T.

Sabemos que en un intervalo acotado, 0,L, la función la podemos representar como una combinación lineal de funciones armónicas, que llamamos “series de Fourier”.

La característica principal de estas series, es que solo están permitidos unos determinados valores propios o frecuencias propias, en función de las condiciones de borde a las que estuviese sometida la función. Fijándonos en este hecho, será de esperar que el aspecto de la transformada de Fourier de la función f(t), periódica y definida en el intervalo [0,T], sea discreto. De hecho, esta discretización, deberá de ser proporcional al periodo en el que se encuentra definida la función, es decir proporcional al inverso del periodo T. La figura 2, muestra lo que cabe esperar respecto al aspecto de la transformada de Fourier, asociada a la función periódica f(t).

Imagen cualitativa de la TF de una función periódica...
Figura 2. Aspecto cualitativo de la imagen recíproca de una función periódica.

 


Imagen recíproca de una función periódica

Para poder ir más allá y averiguar cual será la “distribución de amplitud” que tiene la imagen recíproca de una función periódica genérica, deberemos de estudiar analíticamente este tipo de funciones. Si aplicamos la definición de transformada de Fourier a la función periódica f(t), obtenemos que

(Ec.2)

Si realizamos el cambio de variable, t´= t + T, vemos que la igualdad (Ec.2) adquiere la forma

(Ec.3)

Comparando las ecuaciones (Ec.2) y (Ec.3), apreciamos que, para que se cumpla la igualdad, debe de cumplirse la condición

lo que tiene como consecuencia el hecho de que los únicos valores posibles de w serán aquellos que cumplan que

para cualquier valor entero de n. Por lo tanto solo aparecen, como “frecuencias propias” posibles, las wn proporcionales al inverso del periodo, tal y como habíamos deducido cualitativamente en el apartado anterior. Esta característica de discretización de las funciones periódicas, nos permite representar su imagen recíproca como una combinación lineal de funciones delta de Dirac.

En forma temporal el aspecto de la imagen recíproca será

(Ec.4)

Análogamente, la forma espacial tendrá el aspecto

(Ec.5)

Intuitivamente podríamos decir que una función periódica genérica f(t), posee una función transformada de Fourier con el aspecto de una serie de Fourier. Veámoslo aplicando la definición general de transformada de f(t) a la ecuación 4,

como “integrar sobre deltas de Dirac es un regalo”, debido a que

llegamos, en definitiva, a la forma en serie de Fourier

(Ec.6)

Lo que acabamos de ver tiene como consecuencia inmediata que cualquier función f(t) o f(x), periódica y analítica en el intervalo,   0 < t < T, se encuentra definida en todo el espacio de tiempos o de posiciones [-infinito, +infinito], como ya habíamos intuido cualitativamente.

Para calcular los coeficientes an de la serie, aplicamos el método, tan resolutivo, de multiplicar por el factor   ambos miembros de la ecuación 6 e integrar sobre el intervalo [0,T],

Después de operar, obtenemos como coeficientes de la serie de Fourier (Ec.6), la expresión general

(Ec.7)

Para el coeficiente a0 la ecuación se simplifica notablemente, de forma que

El significado geométrico de este número es el valor medio de la amplitud de la función f(t) en el intervalo [0,T]. De hecho, a0 es la primera aproximación, la más grosera, a la función f(t) en dicho intervalo, tal y como se muestra en la figura 3.

Primera aproximación del desarrollo de Fourier
Figura 3. Primer término del desarrollo de Fourier de la función f(t).

El resto de los an ponderan las amplitudes de los sucesivos armónicos que describirán, cada vez mejor, la forma de la función periódica evaluada.

Forma trigonométrica de la serie de Fourier

Hasta ahora hemos visto el desarrollo en serie de Fourier, de las funciones periódicas, en la forma más general, es decir, en forma compleja. Consideremos ahora, el desarrollo de la función periódica  f(t), en la forma trigonométrica siguiente, mas conocida por todos

(Ec.8)

Los coeficientes del desarrollo, los podemos obtener, con la filosofía de antes, multiplicando ambos miembros de la ecuación 8 por cos nt, para calcular los coeficientes An, o por sen nt, para los Bn y posteriormente, integrar sobre el intervalo de existencia 0, 2Pi. Aplicando este método obtenemos las ecuaciones de los coeficientes

(Ec.9)

y
(Ec.10)

No es necesario utilizar siempre el intervalo 0, 2Pi, puede utilizarse cualquier intervalo de longitud igual al periodo, 2Pi. De hecho, es más interesante utilizar el intervalo -Pi a Pi, en algunos casos.

Dependiendo de la simetría de las funciones evaluadas, obtendremos desarrollos de Fourier con formas específicas que carecerán de determinados términos. Veamos como ejemplo la siguiente función

Como vemos en la figura 4, esta es una función impar, lo que indica que existirán términos en seno. Además, es simétrica respecto a Pi/2, lo que significa que no aparecerán los términos pares del seno, debido a que esos términos no son simétricos en dicho valor. De esta forma, para n impar tendremos como coeficientes de la serie de Fourier asociada,

Una vez conocidos los coeficientes del desarrollo Bn, podemos expresar la función en la forma desarrollada

Si representamos sucesivas aproximaciones para n cada vez mayor, apreciamos que la aproximación es convergente para zonas fuera de las proximidades de los puntos de discontinuidad, donde aparece el fenómeno de Gibbs. En el límite cuando consideramos infinitos términos, dicha perturbación tiende a minimizarse, como muestra la figura 4.


Figura 4. Desarrollo de Fourier para n=1 y n=15 de una función impar .


 


Desarrollo de Fourier y la simetría

Realicemos una clasificación de las características que presentan las series de Fourier en función de la simetría intrínseca a las funciones periódicas genéricas. Consideremos el conjunto de funciones pares (figura 5), donde se cumple que f(2Pi n-t)=f(t), para cualquier valor entero de n. En este caso, en el desarrollo en serie de Fourier, podemos intuir, por las propiedades de la función coseno, que solo aparecerán términos en coseno, esto es, los coeficientes Bn serán nulos.

  Figura 5. Función par simétrica respecto a 0, con periodo 2Pi.

Si consideremos, el conjunto de las funciones impares (figura 6), f(2Pi n-t)=-f(t), para cualquier valor entero de n podemos deducir, por las propiedades de la función seno, que solo aparecerán términos en seno, esto es, los coeficientes An serán nulos.

Figura 6. Función impar simétrica respecto a 0, con periodo 2Pi.

Consideremos también un nuevo conjunto de funciones conocido como funciones pares, simétricas respecto a Pi/2 (figura 7), que son aquellas que cumplen la condición f(Pi/2+ t)=f(Pi/2-t). Estas funciones solo tendrán términos pares en el coseno, es decir, Bn=0 y A2n+1=0 .

Figura 7. Función par simétrica respecto a Pi/2, con periodo 2Pi.

Por supuesto podemos generalizar las series de Fourier para representar funciones con un periodo L, distinto de 2Pi, como hemos visto al principio, si realizamos el cambio de variable

conseguimos que un intervalo de longitud 2Pi en la variable t, se transforma en un intervalo de longitud L en la variable x. Las ecuaciones 8, 9 y 10 se transformarán en estas otras

(Ec.11)

Todas las consideraciones que hemos realizado sobre la simetría de las funciones son, por supuesto, aplicables al nuevo intervalo así definido.

Se debe de dejar claro lo que el intervalo fundamental o periodo L, representa para un determinado problema. Supongamos que una función f(x) viene definida en el intervalo 0<x<a. Esta función, por supuesto, podremos desarrollarla en serie de Fourier con periodo   L=a, en la forma

Para una función f(x) arbitraria, necesitaremos en su desarrollo, tanto términos seno como coseno, es decir, un desarrollo sólo en senos o sólo en cosenos (con periodo a), sería incompleto. Pero, aquí está la magia, podemos desarrollar f(x) sólo en senos de la siguiente manera. Definimos, en el intervalo –a<x<0, una función suplementaria (artificial), con la forma f(-x)= -f(x), tal que el periodo de la nueva función será ahora L = 2a . De esta forma, podremos describirla en la forma

Lo que hemos conseguido de esta forma ha sido evitar los términos coseno del desarrollo, pero a cambio hemos duplicado el número de términos en senos teniendo, en definitiva, un conjunto completo de funciones que describen de forma analítica a la función f(x) en el intervalo 0<x<a. De la misma forma, podríamos desarrollar también f(x) en una serie que solo contuviera cosenos, con periodo 2a, definiendo artificialmente la función f(-x)=+f(x) en el intervalo –a<x<0.


@ RFR.  25 de Julio de 2004