Geometria Riemanniana.@Ramón Fernández Ruiz, 2002

" NOCIONES DE GEOMETRÍA RIEMANNIANA ”

@ Ramón Fernández Ruiz, 2002.

Espacios de Riemann. Tensores. Carácter tensorial del tensor métrico. Ley de transformación de un tensor.
Teorema de descomposición de un tensor. Teorema del cociente. Propiedades del tensor métrico.
Significado geométrico de las componentes. Transporte de vectores.
Ley de transformación de la conexión. Teorema de Weyl.
Símbolos de Christoffel. Geodésicas. Derivación Covariante.

Espacios de Riemann
A título de motivación podemos decir que lo que en este seminario se presenta, a un nivel medio-alto, son las bases matemáticas en las que se sustenta la formulación de la relatividad general Einsteniana. El concepto de espacio-tiempo y las singularidades asociadas, se formulan en términos tensoriales y la geometría en la que se sustenta es la asociada a los espacios de Riemann.
La geometría diferencial estudia la geometría de una superficie operando directamente sobre dicha superficie, sin prestar atención al espacio circundante en que se encuentra. Para ello se establecen coordenadas curvilíneas sobre la superficie y se define una métrica que nos proporciona la longitud de un arco sobre ella, ds². El primero en estudiar esto fue Gauss al abordar los problemas geodésicos. De esta forma si tomamos una superficie que yace en un espacio tridimensional, podemos definirla paramétricamente mediante tres funciones x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v). De modo que u y v podemos interpretarlos como coordenadas de puntos sobre la superficie. La distancia ds sobre la superficie entre dos puntos infinitamente próximos (u,v) y (u+du, v+dv) viene dada por la forma diferencial cuadrática de Gauss

, (1)

donde E, F y G son funciones de u y v. Esta forma diferencial nos permite calcular la longitud entre puntos de la superficie, encontrar las geodésicas, o lo que es lo mismo las curvas sobre la superficie de longitud mínima y calcular la curvatura en cualquier punto de la superficie. En el espacio al que estamos acostumbrados, el euclidiano o plano, la distancia entre dos puntos infinitamente próximos o métrica, viene dado por el conocido teorema de Pitágoras. En 2D tenemos que

De la misma forma en 3D la métrica será ds² = dx² + dy² + dz². En el espacio de Minkowski asociado a la relatividad restringida, como sabemos cuadridimensional, la métrica vendrá dada por ds² = c²dt² – dx² - dy² - dz². Podríamos probar nuevas métricas del tipo ds² = g_xx dx² + g_yy dy² + g_xy dxdy.
Riemann generalizó estos conceptos a hipersuperficies en espacios n-dimensionales generales, no necesariamente euclidianos. Supongamos que dicha hipersuperfície se parametriza con n parámetros, x₁, x₂, ..., x_n. Riemann definió la métrica ds asociada a dicha hipersuperfície por medio de la forma diferencial cuadrática

,(2)

conocida como métrica de Riemann y donde el conjunto de funciones g_ab recibe el nombre de tensor métrico. Recordemos que el convenio de Einstein nos indica que cuando en una ecuación tensorial del tipo (2), aparecen repetidos los índices, esto significa que existe una sumatoria en ellos, de modo que la ecuación (2) quiere decir explícitamente que

Otra observación de notación es el hecho de que dos ecuaciones son equivalentes independientemente de cómo llamemos a los índices, es decir

Se define espacio de Riemann como aquel en el que el conjuntos de funciones g_ij(x^k) son tales que bajo un cambio de coordenadas mantiene ds invariante (escalar).
Tensores

Supongamos un cambio de coordenadas de la forma

.(3)

De esta forma un diferencial dx^a se transformará según la ecuación

.(4)

Sean ysendos conjuntos de objetos, cuya notación indica la componente i-ésima o j-ésima del vector alfa del conjunto y beta del conjunto , que bajo un cambio de coordenadas arbitrario (3) se transforman según las leyes:

Vector contravariante y vector covariante.(5)

Definamos ahora de forma intrínseca a un tensor. Consideremos la forma multilineal

.(6)

Por definición, son las componentes de un tensor, si para un cambio de coordenadas arbitrario tal que se cumplan las relaciones (5), la forma multilineal (6) se reduce a un número, o sea, P es un escalar. Así definido , es un tensor de rango u orden a + b, a veces contravariante y b veces covariante. Por esta definición podemos decir que un escalar P es un tensor de rango 0 y un vector es un tensor de rango 1, con dos posibilidades, contravariante (subíndice arriba) o covariante (subíndice abajo) .

Consideremos un tensor de rango 1 contravariante bajo un cambio de coordenadas del tipo (3), por la relación (4) sabemos que el tensor se transformará como .

Como Pes un escalar debe de permanecer invariante por lo que se debe cumplir que . Veamos que es así,

Algunas propiedades:

(a) La suma de dos tensores de rango a nos dan un tensor de rango a,.
(b) El producto de un tensor de rango a y otro de rango b, obtenemos un tensor de rango a+b,.
(c) Si multiplicamos dos tensores, uno contravariante de rango a con otro covariante de rango b, con un índice repetido, obtenemos un tensor de rango a + b – 2, .

Carácter tensorial del tensor métrico
Habíamos definido la distancia generalizada o Riemanniana como

.(7)

Por la ecuación (4) y la definición intrínseca de tensor podemos ver que dx^a y dx^b son tensores de primer orden y debido a que ds² es un escalar invariante, g_ab debería ser por definición (6), un tensor de rango 2 totalmente covariante. Por completitud, dx^a y dx^b deberían de ser objetos distintos, no como en la ecuación (7) que denotan un mismo objeto, la diferencial de la coordenada x^a. Para salvar esta discrepancia podemos hacer lo siguiente, escribamos

.(8)

De este modo podemos escribir (7) como

utilizando el carácter simétrico del tensor métrico, es decir, g_ab = g_baobtenemos que

.(10)

El lado izquierdo de (10) es un escalar, de modo que se verifica que g_ab es por definición un tensor de rango 2 totalmente covariante.

Ley de transformación de un tensor general

Sabemos que bajo una transformación arbitraria de coordenadas, los escalares son invariantes. De este modo, si la forma multilineal (6) es un escalar se debe de cumplir que , es decir,

por lo que

(11)

todos los índices del lado derecho son mudos (repetidos) por lo que podemos renombrarlos de manera distinta, por lo que

(12)

de esta forma obtenemos que

(13)

Para eliminar las derivadas parciales del lado izquierdo de la ecuación (13), multiplicamos ambos miembros por derivadas parciales inversas de la forma adecuada con el fin de que en el lado izquierdo solo queden deltas de Krönecker, esto es

de modo que

.(14)

La ecuación (14) es la ley de transformación que sigue un tensor general, de orden a+b, a veces contravariante y b veces covariante, de esta ley podemos obtener los siguientes resultados:

(i)Si dos tensores tienen las mismas componentes en un sistema las tienen también en cualquier otro sistema .

(ii)Si un tensor es nulo en , es decir todas sus componentes son cero, también es nulo en cualquier otro sistema .

(iii)Una ecuación tensorial mantiene su forma en cualquier sistema de coordenadas. Por ejemplo consideremos la ecuación

(15)

que relaciona dos cantidades que pueden ser tensores o no. Entonces si

es un tensor, existe un sistema coordenado en el que todos los de modo que se cumpla la ecuación (15).
Teorema de Descomposición de un tensor
En un espacio n-dimensional, cualquier tensor de rango q >1 puede escribirse como la suma de n^q-1 productos de vectores con q factores cada uno. Por ejemplo si consideramos el tensor , en un espacio de dimensión n = 4, es un tensor de rango q = 2, totalmente contravariante, de modo que por el teorema podemos descomponerlo en 4¹ factores como

.(16)

Una operación que podemos realizar sobre un tensor es la contracción que consiste en igualar dos índices y sumar. Por ejemplo si tenemos el tensor podemos hacer m = a y j = a, de modo que

(17)

Podemos apreciar que la contracción de un par de índices produce un tensor de orden 2 veces menor que el original.
Teorema del cociente
Sea un conjunto de cantidades cualesquiera

(i)Caso particular: Si para un vector contravariante se verifica que

es un tensor, entonces es un tensor del tipo y rango indicados.
(ii)Caso General: Si para un tensor arbitrario se verifica que

es un tensor, entonces es un tensor del tipo y rango indicados.
Propiedades del tensor métrico
Un índice covariante puede transformarse en uno contravariante y viceversa mediante la utilización del tensor métrico en la forma

, bajando índices o ,
subiendo índices debido al producto interno de dos tensores.
Las propiedades del tensor métrico son muy importantes debido a que esta es la herramienta para convertir componentes covariantes en contravariantes y viceversa, además de incluir toda la información sobre el espacio que define. Estas son las siguientes:
(i)- es C² , es decir que todas las derivadas parciales de segundo orden de las existen y son contínuas.
(ii)- es simétrico: que en forma matricial implica que .
(iii)- es no singular por lo que su determinante es no nulo, . Esto tiene como consecuencia que el tensor métrico tiene inverso.
.(18)

En forma matricial esto lo representamos en la forma

donde

,

siendo el determinante el menor de la matriz.

Significado geométrico de las componentes covariantes y contravariantes
Estudiemos un ejemplo familiar donde se muestra el carácter covariante o contravariante de las componentes. Situemos un sistema de coordenadas en el plano XY y un vector en el, digamos el vector . Asignemos a estas coordenadas las componentes contravariantes

En este sistema la métrica es

.(19)

De esta manera, las componentes covariantes de se obtienen bajando el índice, esto es

o lo que es lo mismo
.(20)

El módulo al cuadrado de será

.(21)

Realicemos la siguiente transformación de coordenadas

,(22)

esto es, la coordenada x la hemos contraído a la mitad. En este nuevo sistema las componentes contravariantes serán

.(23)

Por las leyes de transformación sabemos que

,(24)

de modo que :

,(25)

es decir .(26)

El módulo al cuadrado de en el nuevo sistema de coordenadas será

(27)

Podemos apreciar que el módulo del vector es el mismo en los dos sistemas de coordenadas ligados bajo una transformación.

Realicemos un cambio de coordenadas como el que indica la figura y que viene descrito por la transformación

.(28)

A la vista de la figura las componentes del vector arbitrario en el sistema podemos fijarlas de dos maneras; proyección perpendicular a los ejes (línea continua) o proyección paralela a los ejes (línea punteada). ¿Cuál es la diferencia entre cada una de ellas? ¿Cómo se relacionan?.
A partir de la transformación que sufren los ejes (28) podemos obtener la métrica del siguiente modo

A la vista de la figura , por lo que podemos escribir que

(29)

La métrica la podemos escribir como

,(30)

de modo que las componentes covariantes vendrán dadas por

.(31)

Desarrollando la expresión (31) llegamos a que

,
que son precisamente las relaciones que ligan entre si las proyecciones paralela (contravariante) y perpendicular (convariante) de en el sistema .

Transporte de vectores
En los ejemplos que hemos visto hasta el momento, los cambios de coordenadas eran lineales, talque el espacio permanecía homogéneo sin cambiar de un punto a otro, la métrica era la misma, no cambiaba. En los casos generales, esto no es así, es decir, al pasar de un punto a otro las longitudes medidas varian. Esto se debe a que las funciones que constituyen el tensor métrico no son lineales en general. Por eso, en un espacio homogéneo, como el ordinario euclideo (Minkowski), si queremos saber si dos vectores A y B son iguales, podemos trasladar de forma paralela a si mismos uno de ellos para compararlo con el otro.

Pero en un espacio de Riemann esto no es posible en general, porque la longitud del vector, al trasladarlo, cambia

Tomemos dos puntos del espacio P y Q, de modo que

y

.
Si no hay cambios en la métrica que dependan del punto del espacio considerado, se cumplirá que

y exactamente lo mismo para el resto de las componentes de . Esto implica que las componentes del tensor métrico son constantes para todo . Esto es lo que sucede en el espacio euclideo o mikowskiano donde el tensor métrico tiene la forma

.

Sea un campo vectorial definido sobre la curva parametrizada . Si consideremos una transformación

.(32)

Si derivamos (32) respecto al parámetro p

,(33)

vemos que la derivada de respecto de p es un tensor solo en el caso particular de transformaciones lineales, o sea, cuando .

Supongamos que es constante a lo largo de la trayectoria , es decir es el mismo en todo punto sobre tal y como muestra la figura adjunta

En tal caso
(34)

Como

(35)

y ,(36)

Substituyendo en (34) tenemos que

.(37)

Si denotamos por conexión al factor

,(38)

vemos que la ecuación de transporte vectorial adquiere la forma

.(39)

Ley de transformación de la conexión

A la vista de la ecuación (39) podríamos preguntarnos, si ¿se cumplirá que

,(40)

es decir que al pasar del punto al el vector pasa a en la forma

?(41)

Si esto es así, la ecuación (41) representaría el transporte vectorial en un espacio de Riemann. Para comprobarlo debemos de estudiar las funciones conexión . Impondremos que al pasar de a el vector sigua siendo un vector y no se transforme en otro objeto. Esto tiene como implicación que

.(42)

Impongamos que la ley del transporte sea invariante, esto es

.(43)

En estas condiciones la ecuación (42) adquiere la forma

.(44)

Desarrollando en serie el segundo miembro de la ecuación (44) hasta primer orden, obtenemos que

.
La igualdad anterior se cumplirá si y solo si

.(45)

Por otra parte sabemos que

,
tal que sustituyendo en (49) y operando llegamos a que la ley de transformación de la conexión adquiere la forma

.(46)

Vemos que la conexión no es un tensor salvo para transformaciones lineales, donde el primer término se anula. Si en un sistema se cumple que , entonces

,(47)

que es simétrico.

Proposiciones

Si es tal que existe un sistema en el cual es decir no es simétrico, entonces

(i) , para todo sistema

(ii) No es posible encontrar un sistema en el cual .

Teorema de Weyl
La condición necesaria y suficiente para que exista un sistema local particular en el que las componentes de un vector no se vean alteradas por un transporte infinitesimal es que los coeficientes de la conexión sean simétricos. Este sistema local particular se denomina sistema geodésico, con una importancia relevante en física.
Impongamos además que se mantenga la invariancia del producto escalar tal que

,

donde s representa el parámetro de la curva. Entonces derivando obtenemos que

Sacando factor común llegamos a

o lo que es lo mismo
.(48)

Si permutamos los índices i, j y m podemos obtener dos nuevas ecuaciones con la forma

(49)

y

.(50)

Sumando las ecuaciones (49) y (50) y restando la (48) y aplicando la simetría de en j y k obtenemos que

multiplicando por

.(51)

Por lo tanto si conocemos la forma del tensor métrico fundamental (), conocemos la forma de la conexión que gobierna el movimiento en el espacio que la métrica define.

Símbolos de Cristoffel

Definimos el símbolo de Cristoffel de primera especie como

,(52)

donde y así los demas.

Según esta definición la conexión la podemos escribir como

.(53)

Definimos los símbolos de Cristoffel de segunda especie como

,(54)

de modo que

.(55)

Según estas definiciones

(56)

y

.(57)

Geodesicas

Supongamos una curva parametrizada . La longitud del arco entre el punto p = a y p = b está definida por

.(58)

Podemos apreciar que s es un funcional

.(59)

donde y .

Si buscamos las curvas de longitud mínima o geodésicas tendremos que

,(60)

con lo que F satisface las ecuaciones del movimiento de Euler-Lagrange

.(61)

Si definimos

(62)

entonces F = F(T). Desarrollando ahora los términos de la ec (61), obtenemos que

(63)

donde hemos hecho la sustitución . De esta forma las ecuaciones de Euler-Lagrange adquieren la forma

.(64)

Si cambiamos el parámetro de la curva de p a q(p) por ejemplo, se cumple que

,(65)

es decir, s es invariante bajo cambios de parametrización. Tomemos aplicando este hecho que el parámetro es la propia longitud del arco s, entonces

,(66)

tal que si sustituimos en (62) T =1/2 = cte de modo que

.(67)

Por lo tanto se cumple que

.(68)

Si permutamos los índices en (68) obtenemos la expresión equivalente

.(69)

Si ahora sumamos (68) y (69) obtenemos que

o lo que es lo mismo

Si ahora multiplicamos por ½ ambos miembros y ordenamos los términos llegamos a

.

Si contraemos ahora la ecuación multiplicando por llegamos a la ecuación

.(70)

Identificando el segundo sumando con el símbolo de Christoffell de 2ª especie llegamos a la expresión final

.(71)

Esta ecuación es conocida como la ecuación de las geodésicas o curvas de longitud mínima en un espacio de Riemann.

Derivación Covariante

Tomemos un campo vectorial y denotemos por el vector obtenido por transporte

.(72)

Tomemos ahora un punto muy próximo a por lo que tenemos que

.(73)

Por otro lado de lo que ya sabemos del transporte de vectores

.(74)

Restando (74) a (73) obtenemos que

,(75)

que es un vector, por ser diferencia de vectores. Puesto que el lado izquierdo es un tensor, el paréntesis ha de ser un tensor de 2º orden por el teorema del cociente. Vemos que la ec (75) expresa la diferencia infinitesimal entre el vector y el obtenido por transporte , de modo que es la generalización de la derivada. De hecho (75) define la derivada covariante del vector, tensor de 1º orden, contravariante

.(76)

Cuando los son constantes, la conexión se anula y la derivada covariante se reduce a la derivada parcial ordinaria.
Si el vector que queremos derivar es covariante, su derivada covariante podemos demostrar que viene dada por

.(77)

Sabiendo que un tensor mixto lo podemos expresar como y aplicando las reglas de derivación de un producto, obtenemos que

.(78)

Si ahora sustituimos las expresiones (76) y (77) en (78), obtenemos que la derivada covariante de un tensor mixto de segundo orden viene dada por la ecuación

.(79)

Lo hecho para un tensor de segundo orden lo podemos generalizar para cualquier tensor. Es de destacar el hecho de que cuando la conexión se anula, es decir, nos encontramos en un espacio plano mikowskiano, las derivadas covariantes se reducen a las derivadas parciales ordinarias.

Una consecuencia importante de la derivada covariante de un tensor es le efecto que esta tiene sobre el tensor métrico. El teorema de Ricci nos dice que “la derivada covariante del tensor métrico es cero”, es decir que

.(80)

Este teorema, fácil de demostrar con los conocimientos adquiridos hasta el momento, tiene consecuencias y aplicaciones importantes ya que nos permite subir o bajar índices en ecuaciones diferenciales tensoriales. Veamos un ejemplo sencillo

,
pero el primer sumando es cero por el teorema de Ricci por lo que se llega a que
.(81)

@RFR. 26 de Julio de 2004