Método de Newton para f(x)=0

    El método de Newton es la iteración

Programa para el Método de Newton

Introducir  f(x)
Introducir f'(x):
Valor initial x0:
Mostrar resutados desde n:
Ultimo valor de n mostrado:
[Funciones en Javascript]
 
 
 

     Isaac Newton  (1643-1727)
       
      El primer escrito donde aparece el Cálculo Diferencial e Integral fue un manuscrito de Newton 
   que entregó a su mentor Isaac Barrow  (1630-1677) en 1669. De este pequeño tratado, 
   De Analysi per aequationes numero terminorum infinitas
   circularon copias en los círculos matemáticos de Inglaterra. Allí Newton expone un método para 
   hallar soluciones de ecuaciones, que luego utiliza para invertir series de potencias y así desarrolllar
   su cálculo. 

    Su primer ejemplo estudia la ecuación

                                        y3-2y-5=0

Comprueba que la solución está cerca de y=2. Luego sustituye y=2+p,  para obtener

                                       p3+6p2+10p-1=0

    Como p es pequeño, elimina  p3+6p2 de la ecuación para llegar a 10p-1=0, de donde
aproximadamente es p=0.1. Por tanto sería y=2.1, esta es la primera aproximación de
la raìz. Ahora toma p=0.1+q y sustituye en la ecuación en p anterior para llegar a

                                       q3+6.3 q2+11.23 q+ 0.061=0

Otra vez desecha los términos  q3+6.3 q2 para  de 11.23 q+ 0.061=0 obtener aproximadamente
q=-0.0054, de donde ahora y=2.0946, y así sucesivamente.
 

Página de De Analysi  donde Newton expone su método.

    ¿Puedes reconocer el método de Newton tal como ahora lo explicamos de esos cálculos?
La forma funcional de ahora para el método de Newton aparece en Lagrange (1798).
 
   
   De Analysi apareció finalmente publicado en 1711 junto a otros 
 textos de Newton. Estamos ahora de suerte, ya que la edición
 facsimil de este libro, junto con una traducción comentada ha sido
 recientemente publicada por la Real Sociedad Matemática 
 Española, todavía quedan ejemplares al precio de 60 euros
 (45 para socios). Una versión en pdf se encuentra gratuitamente
 en

  http://dibinst.mit.edu/BURNDY/Collections/Babson/
  OnlineNewton/Analysis.htm


    Una de la aplicaciones más importantes que ha tenido el método de Newton es para resolver la llamada
ecuación de Kepler
 
 

           E - e sin(E) = M

 donde

             E: anomalía excéntrica
             e: excentricidad de la elipse
             M: anomalía media

 En la figura: 

  P: Posición de la Tierra
  F: Foco, posición del Sol
  E: Anomalía excéntrica

    Esta ecuación es muy conocida en astronomía. La incógnita de esta ecuación, E,  viene a ser como el ángulo en
coordenadas polares que determina la posición de un planeta en su órbita elíptica. Fue con ella de hecho cuando
se publicó por primera vez el método de Newton, como un Lema geométrico, en los Principia Mathematica  (1687),
(Libro I, Prop. 31).

    Veamos un ejemplo:
 

   Consideremos la rotaciónde la Tierra. La Tierra da la vuelta  en una órbita elíptica con el Sol en uno de sus focos. La excentricidad
de la elipse es de e=0.0167. Por otro lado el tiempo que tarda la Tierra en dar la vuelta al Sol es aproximadamente 365 días. También
sabemos que el perihelio, esto es, el punto de la Tierra más cercano al Sol es el 4 de Enero. Queremos saber la posición de la Tierra
el 1 de Febrero, esto es, 27 días después del perihelio.
e = 0.0167, T = 365 days, and t = 27 days. 

Therefore, M = 2*3.14159*27/365 = 0.46478 radians. 

Finding the Earth's position at February 1 requires solving Kepler's Equation of Elliptical Motion for E: 

                                                    E - 0.0167 sin(E) = 0.46478 
 


 
   
   Otro ejemplo importante del método de Newton, el
 lanzamiento de un proyectil. Si  (x(t), y(t)) es la
 trayectoria, para hallar el alcance de un disparo
 debemos hallar 

     t, el tiempo tal que y(t)=0

   Para ello usamos el método de Newton. En la imagen
 de la izquierda una de las figuras que acompañan el
 magnífico Tratado de Artillería, de Diego de Ufano.

    Aquí abajo tienes un programita en javascript que calcula el método de Newton. Para ejecutarlo se puede incluir en el
código html de un fichero, pero se puede simplemente hacer un fichero de texto con este contenido, ponerle la terminación ".html"
y abrirlo con un navegador (si no se pudiera se abre un fichero .html cualquiera con un editor de texto y se cambia el código por este).
 
<script>

 function NewtonIterationFnct(x) {
 return  x - (Math.cos(x) - x*x*x) / (-Math.sin(x) - 3*x*x) 
                       } 
      x = 0.5 
     for (i=0; i<=99; i++) {
     document.write("Iteration " + i + ": ")
            document.write(x)
            document.write('<br>')
             xold = x
             x = NewtonIterationFnct(x) 
             if (x == xold) break 
                              }
    </script>



Newton en el plano complejo

    El método de Newton

puede utilizarse también en el plano complejo. La teoría es completamente similar al caso de la recta real, sólo que las operaciones
son ahora con números complejos. Las demostraciones de convergencia y orden de convergencia siguen siendo válidas.
En el caso particular de tomar f(z)=z3-1, el método de Newton calculará los ceros de esta función. Son las también llamadas
raíces cúbicas de la unidad
 

    Dado un punto z0 cualquiera del plano complejo, podemos plantearnos el siguiente juego: coloreamos  z de color azul si sus iterados
convergen hacia el cero z1 =1, de color amarillo si sus iterados convergen hacia z2 , y  de color rojo si lo hacen hacia la tercera raíz z3 .
El plano complejo queda entonces dividido en tres regiones, que son las cuencas de atracción de las tres raíces. El comportamiento
más interesante ocurre en las regiones frontera de las tres cuencas, ya que allí se entrelazan indefinidamente filamentos de todos los colores,
azul, amarillo y rojo. Se demuestra que estas cuencas son arco conexas, esto es, que dados dos puntos cualesquiera del mismo color
siempre hay un filamento que los une.
 

cubica.m

Dos programas de matlab:  newton.m  ,  newtonmultiple.m


Tomeu Barceló / Departamento de Matemáticas / Universidad Autónoma de Madrid