Iteración de Punto Fijo x=g(x)

          
 


Introducir g(x): 
Introducir valor inicial  x:
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   Jamshid al-Kashi (1390-1450), el famoso matemático astrónomo de Samarkanda que para construir
   una tabla de funciones trigonométricas usó una iteración de punto fijo para hallar sin 1o. Construyó
   una tabla de senos y tangentes en intervalos de minuto de arco,dando los valores con 5 bloques 
   sexagesimales.  El valor sexagesimal de sin 1o que encontró es

                     sin 1o=1;2,49,43,11,14,44,16,26,7

  que equivale al decimal 

                     sin 1o= 0.017452406437283571

    Para ello empezó con   sin 3o que se puede encontrar con fórmulas trigonométricas sencillas de resta y de ángulo
mitad a partir de los ángulos del triángulo equilátero y del pentágono regular. Usaba luego un análogo geométrico
a la fórmula

                                        sin 3a = 3 sin a - 4  sin3 a

de tal manera que si  x=sin 1entonces x  es solución de la ecuación

                                          3x-4 x3  =sin 3o

    Despejando x queda    x=1/3(  sin 3o + 4  x3). Al-Kashi fue iterando esta relación con  x0=1/3 ( sin 3o).

    Al-Kashi es conocido otras cosas por su cálculo del número p . En uno de sus libritos el Tratado de la circunferencia,
de Julio de 1424, calculó en hexadecimal el equivalente de 16 decimales de p .


Un ejemplo de iteración de punto fijo:
 
     Ya que estamos hablando del número p, ¿Podrías encontrar una iteración que nos calcule p ?  Una posibilidad
sería encontrar x=p  como cero de sin x=0. Para ello escribimos simplemente

                                    x=x + sin (x)

y empezamos la iteración de x=g(x),  tomando como  g(x)=x+sin(x) y  x0 algún número cercano a   p
por ejemplo  x0=3. Parece ingenuo, pero tiene una velocidad de convergencia sorprendente. ¿Podrías deducir su 
orden de convergencia?


 Veamos otro ejemplo, esta vez de Babilonia, vayamos al 1700 antes de Cristo.Una de las tabletas cuneiformes
más conocidas es la llamada tableta de Yale YBC 7289,
 

    Esta tableta tiene la figura de un cuadrado con sus diagonales. La interpretación de esta tablita es un enigma de detectives
en matemáticas. Los signos cuneiformes, una vez interpretados son números en sexagesimal, el número 30 en el lado superior
izquierdo,  1;24,51,10 sobre la diagonal y 42;25,35 debajo de ella. Para tener una mejor idea de lo que significan calculémoslo
en decimal
 

                  


    Este número ya nos da una ligera pista ya que parece ser que es  raíz cuadrada de 2. Luego comprobamos que
30 veces 1;24,51,10 es  42;25,35.  ! Parece que hemos encontrado la luz! La tableta calcula la diagonal de un cuadrado
cuya lado es 30. De paso comprobamos que los babilonios conocían el Teorema de Pitágoras, bastante antes que Pitágoras
por lo que podemos comprobar.
    Pero aquí no acaba el misterio, ya que ¿Cómo se las arreglaban los babiloniospara encontrar raíces cuadradas? Hay un
pequeño problema y es que los babilonios, como también los egipcios, no demostraban nada. Por supuesto que
llegarían a sus resultados después de algún tipo de razonamiento. Pero los que tenían este conocimiento eran escribas
y sacerdotes y simplemete muestran sus resultados como una receta milagrosa que funciona, pero no explican como llegan
a ella. Esto les daba poder. Es el reflejo del tipo de sociedad que eran, autoritaria y de culto a la jerarquía. Como
contraposición podemos ver que la matemática griega de después es muy distinta, es una sociedad democrática y cuando
muestran un resultado tienen que convencer al que escucha que la verdad de lo que prueban. Observad otra diferencia
importante entre una y otra matemática, los babilonios eran capaces de calcular raíz de 2. Los griegos, aunque también
sabían calcularla, demostraron que raíz cuadrada de 2 no es un número racional.
    Pero volvamos al caso que nos ocupa. Se han encontrado muchísimas tabletas babilónicas parecidas donde se ve
que los babilonios sabían calcular raíces cuadradas con cualquiera que fuera la precisión que necesitaran. Su manera
de proceder más o menos como sigue:
 
 
  A partir del cuadrado de lados a+b de la izquierda se observa 
geométricamente que 


  de donde 

       Si b es pequeño, podemos despreciar b2, luego si h=2ab, 
obtenemos


  que es la fórmula buscada.

    Sustituyendo en esta fórmula
 

 resulta 

Tomando ahora de partida este valor de a=1;25,  iteramos de nuevo en la fórmula para obtener
 

que es el valor encontrado en la tableta si tomamos los tres primeros bloques después del punto y coma. Observemos que este método
es un método iterativo, ya que empezamos con un valor xn=a  original, buscamos h tal que a2+h=2, esto es h=2-xn2, de donde la fórmula
obtiene


    ¿Te suena familiar esta iteración?



Referencias:

                  Tomeu Barceló / Departamento de Matemáticas / Universidad Autónoma de Madrid