Curiosidades Aritméticas

1)  El valor decimal de  ,  y  su inverso 1/ es
 
 
=  1.6180339887 ...
= 2.6180339887 ...
1/ = 0.6180339887 ...

Podemos observar que tienen exactamente los mismos decimales,  ¿Por qué?


2) De la ecuación que definía ,
                                                                           
Dividiendo por , se tiene

                                                               
Luego

                                        
Y continuando así indefinidamente
                                                          

Que es la llamada fracción continua de .


3) Como en cada una de las fracciones (infinitas) que aparecen, sólo hay unos, excepto el término 1/ al final, si lo despreciamos van apareciendo sucesivas aproximaciones racionales de , que son

     1/1 = 1,  2/1 = 2,   3/2 = 1·5,   5/3 = 1·666...,  8/5 = 1·6, 13/8 = 1·625,   21/13 = 1·61538...

Estos números que aparecen tanto en los numeradores como en los denominadores son los términos sucesivos de la sucesión de Fibonacci.

Sucesión que aparecía en el un curioso problema de cría de conejos en el "Liber Abaci" de Fibonacci (1170-1240).
 
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ...

Es curioso que justamente aparezca la divina proporción aquí, en el libro de Leonardo de Pisa, sin que aparentemente Pacioli se diera cuenta. Este hecho
sorprendente fue observado por Kepler.


4) Otra relación curiosa se obtiene de la relación vista anteriormente

                                                
Extrayendo la raíz cuadrada en cada miembro
                                                                                

De donde sustituyendo sucesivamente el valor de  va apareciendo

                                                          

                                                            
 
 


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