La mayoría de nuestras democracias siguen un esquema similar. La constitución española establece por ejemplo que los escaños de la cámara se asignan por circunscripciones electorales (provincias) "en proporción a la población respectiva". El problema de un método de reparto es saber como se consigue esta proporción.
Por ejemplo, según los datos del censo electoral de 1790, el estado de Carolina del Norte tenía una población de 353.523 personas con derecho a voto, mientras que en todo EEUU había 3.615.920, por lo tanto la porción representativa de Carolina del Norte era
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Que no es un número entero ¿Cómo vamos a repartir una proporción semejante? En los Estados Unidos, para conocer el número de representantes en la Cámara que corresponden a cada uno de los estados de la unión, se han usado varios métodos. Estos se han ido cambiando a medida que se han conocido mejor sus virtudes y sus problemas, ya que como veremos ninguno es matemáticamente perfecto y su aplicación depende en gran medida de una decisión política. Entre los más usados e importantes están los métodos de Alexander Hamilton, Thomas Jefferson, Daniel Webster y el actual llamado de Hill-Huntington.
Antes de pasar a describirlos, necesitamos precisar algunas definiciones. Sea n es el número de estados (o provincias) que forman la unión (o el país). Sea p la población total de la unión derecho a voto. Sean p1,p2, ..., pn las población de los respectivos estados y sea e el número total de escaños a repartir.
Definición Se llama porción representativa del estado i a la proporción entre la población de este estado y la total, esto es,
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Definición Se llama cuota del estado i a
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Claramente la suma de las poblaciones de cada estado es la población total, esto es,
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En el ejemplo anterior, Carolina del Norte tenía una cuota de 10.265 escaños. Otro estado, Pensilvania, al ser su población 432.879 tendría una cuota de
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El método de Hamilton se estaba usando para repartir la Cámara de Representantes en 1880, cuando apareció una circunstancia curiosa. Para modificar el número de escaños de la cámara con vistas a futuras elecciones, se hizo un estudio de repartos con una cámara de diferentes tamaños desde 270 a 350 miembros. Entonces se observó que Alabama tenía derecho a 8 representantes si el tamaño de la cámara era de 299, pero disminuía a 7 representantes si el tamaño de la cámara era de 300. El congreso decidió entonces un tamaño de 325 escaños, ya que entonces este número parecía no presentar problemas.
Este hecho se conoce con el nombre de paradoja de Alabama y se dice que el método de Hamilton no es monótono, ya que si se aumenta el número de escaños a repartir, con las mismos datos de población, sorprendentemente puede que haya estados que disminuyen su número de representantes.
Thomas Jefferson, que era secretario de estado con Washington, propuso entonces un método que consistía en elegir un divisor d que fuera aproximadamente el tamaño de un distrito congresional medio y luego dividir la población de cada estado por d. El número de representantes era entonces la parte entera de este cociente, eliminando simplemente la parte decimal.
Por ejemplo, el estado Virginia, de donde era original Jefferson, tenía una población de 630.560 habitantes. Al ser
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Si se decide utilizar este método, primero se prueba con un divisor d y el tamaño de la cámara se determina por este divisor. Siendo el número total de representantes en la cámara
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Cuando el número total de escaños de la cámara está ya fijado, para saber cuántos escaños corresponden a cada estado en particular podemos proceder de la siguiente manera: empezamos con un divisor d=p1 donde p1 es la población del estado más grande. El cociente entre p1 y este divisor es 1, así que el estado 1 recibe el primer representante y los cocientes de las poblaciones de los demás estados es menor que 1. De este modo, de momento, sólo se ha repartido 1 escaño. Ahora vamos disminuyendo el divisor. El estado 1 recibirá un segundo escaño cuando [( p1)/ d]=2 (esto es, si despejamos d, cuando d=p1/2), mientras que los demás estados habrán recibido un escaño si en su caso ha sido [( pi)/ d] > 1. Continuando con este proceso el estado i recibirá su n+1 escaño cuando para un cierto d
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Podemos afirmar entonces que vamos asignando los escaños siguiendo un orden de prioridades por medio de la función de clasificación Ri=[( pi)/( n+1)].
Esta función de clasificación da un procedimiento más sencillo para hacer el reparto. Veamos como hacerlo con un ejemplo que hemos tomado de las elecciones generales de 1966 en la provincia de Burgos. En este ejemplo, en vez de repartir el total de escaños de la Cámara de Representantes por estado, repartiremos los 4 escaños que corresponden a Burgos entre los distintos partidos políticos según su número de votos. Es decir, sustituiremos "número de representantes de la Cámara" por por "número de escaños a repartir en los resultados electorales de esta provinvia", sustituiremos "estado" por "partido político" y ``número de habitantes" por "número de votos".
Ejemplo: Resultados electorales de las elecciones generales de
1966 en la provincia de Burgos. Se reparten un total de 4 escaños.
En la primera fila colocamos los votos de los partidos que han conseguido
más del 3 % del total. Luego en las sucesivas columnas hacia abajo
dividimos los votos por 1, 2, 3, etc. Vamos asignando los escaños
por prioridades en orden decreciente, esto es, el primer escaño
se lo lleva en este caso el PP por tener 125.095 el número más
alto de la tabla. El segundo escaño se asigna al PSOE ya que le
corresponde el segundo número más alto, 71.098, de la tabla,
y así sucesivamente.
| Votos | 126095 | 71098 | 25785 |
| Votos/1 | 1260951 | 710982 | 2578 |
| Votos/2 | 630483 | 35549 | |
| Votos/3 | 420324 | ||
| Reparto | 3 | 1 | 0 |
En nuestras democracias occidentales el método de Jefferson se llama método de los divisores naturales o también regla D'Hondt, cuyo nombre viene del matemático belga Victor D'Hondt. En España utilizamos la regla D'Hondt tanto para determinar el reparto de escaños del Congreso de los Diputados que corresponden a cada provincia como para repartir los escaños a los distintos partidos según los resultados electorales.
Calculemos la cuota de los distintos partidos del ejemplo anterior de la provincia de Burgos. La suma total de votos es
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Observemos que la cuota del PP es 2,26, su cuota inferior es 2 y su cuota superior 3. Con la regla D'Hondt el PP ha obtenido 3 escaños, esto es, un número de escaños igual a su cuota superior. Lo mismo ha pasado con los demás partidos PSOE e IU, han obtenido un número de escaños igual o bien su cuota inferior o bien su cuota superior.
Esto no siempre sucede con la regla D'Hondt, a veces hay partidos que obtienen más escaños que lo que indica su cuota superior, lo cual no parece muy equitativo. Se dice por ello que este método no satisface la condición de la cuota. Podemos observar este hecho en la tabla del reparto de escaños para el Congreso de los Diputados en España que adjuntamos más adelante. En ella aparece la provincia de Alicante que tiene una cuota de 9,90 y sin embargo D'Hondt le asigna 11 representantes para el Congreso.
Podemos observar también que el PP no consiguió más del doble que los votos que el PSOE, y sin embargo obtuvo más del doble en escaños. Este es un hecho general con la regla D'Hondt y por ello se dice que es un método que tiene un sesgo hacia los partidos mayoritarios. En el caso español es un hecho políticamente deseado, ya que ello favorece las coaliciones y por tanto evita la atomizaciø'n en muchos partidos. Este hecho parece dar más estabilidad al sistema y evita lo que sucede por ejemplo en Italia, donde hay una excesivo fraccionamiento de partidos.
| Jefferson | Ri=[( pi)/( ni+1)] |
| Webster | Ri=[( pi)/( 2ni+1)] |
| Hill-Huntington | Ri=[( pi)/( raíz cuadrada[ni(ni+1)])] |
| Dean | Ri=[( pi(2ni+1))/( 2ni(ni+1))] |
| Adams | Ri=[( pi)/( ni)] |
Todos ellos se han usado an algún momento para el Congreso de los Estados Unidos. Con los métodos de Hill-Huntington, de Dean y de Adams, cada estado empieza con un escaño antes de empezar el proceso, pero con los métodos de Jefferson y Webster la asignación inicial de cada estado es 0.
El método de Webster, que lleva el nombre del hombre de estado
y orador Daniel Webster (1782-1852), también se llama de los divisores
impares o de Sainte-Laguë en los paises escandinavos. Veamos como
sería el reparto de escaños por Webster con los datos anteriores
de la provincia de Burgos:
| PP | PSOE | IU | |
| Votos | 126095 | 71098 | 25785 |
| Votos/1 | 1260951 | 710982 | 257584 |
| Votos/3 | 420323 | 23699 | 8586 |
| Votos/5 | 25219 | ||
| Reparto | 2 | 1 | 1 |
El método de Hill-Huntington lleva el nombre de Joseph A. Hill,
de la Oficina del Censo de los EEUU, y de Edward V. Huntington, profesor
de mecánica y matemáticas de la Universidad de Harvard. También
se llama el método de la media geométrica y es el que, desde
1941, se usa actualmente para repartir la Cámara de los Estados
Unidos. Los sucesivos divisores de Hill-Huntington son 1.41, 2.45,
3.46, 4.47, 5.48, etc. Aplicado este método al ejemplo de la provincia
de Burgos anterior sería:
| PP | PSOE | IU | |
| Votos | 126095 | 71098 | 25785 |
| Votos/1.41 | 894291 | 504243 | 18286 |
| Votos/2.45 | 514672 | 29020 | |
| Votos/3.46 | 364444 | ||
| Reparto | 3 | 1 | 0 |
Una variante de estos métodos es la modificación del método de Sainte-Laguë que se usa en Suecia desde 1952. Se van tomando los divisores sucesivos 1.41,3,5,7, etc. Aumentando así el primer divisor, se persigue dificultar la obtención de escaños por parte de los pequeños partidos, mientras que luego, elevando la distancia entre los miembros de la serie se reduce la ventaja de los partidos más grandes.
Se puede medir matemáticamente la injusticia en el reparto. Haya varias definiciones de injusticia, pero una de las más usadas fue introducida por Huntington y define la injusticia entre dos estados i,j como la diferencia
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Proposición El método de Webster minimiza la injusticia.
Dem. Supongamos que dos partidos P1 y P2 compiten por el siguiente escaño. Sean p1 el número de votos del partido P1 y n1 el número de escaños que ya ha obtenido. Análogamente sean p2 el número de votos del partido P2 y n2 su número de escaños ya adjudicados.
El método de Webster dará el siguiente escaño a
P1 si se verifica
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En efecto, la relación D12 < D21 es
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Hay varias definiciones de esta paradoja. En su forma más elemental, se puede describir del siguiente modo: Supongamos que hay dos elecciones consecutivas y un partido obtiene x escaños en la primera elección y aumenta el número de votos en la segunda. Si los demás partidos obtienen igual número de votos en ambas elecciones, es lógico pensar que el partido que ha aumentado en votos no disminuye su número de escaños obtenidos en la primera elección. Sin embargo puede que esto suceda. Otra definición un poco más realista de la misma paradoja es la siguiente:
La paradoja de la población: Supongamos que el tamaño de la Cámara y el número de estados es fijo, pero cambia el número de habitantes. Entonces un estado puede perder un representante en favor de otro estado, incluso si la población del primer estado crece más que la del segundo.
Veamos esta paradoja con un ejemplo. Tomamos datos de las elecciones
españolas de 1989 en la provincia de Badajoz, donde se asignaban
6 escaños. Vamos a llamar A,B,C,D a los partidos que obtuvieron
más del 3 % de votos y usaremos el método de Hamilton.
| Hamilton | A | B | C | D |
| Votos | 208560 | 82000 | 38000 | 30000 |
| Cuota | 3.49 | 1.37 | 0.64 | 0.50 |
| Escaños | 3 | 1 | 0+1 | 0+1 |
Sin embargo, supongamos que los resultados electorales hubieran sido:
| Hamilton | A | B | C | D |
| Votos | 206600 | 72000 | 38000 | 32000 |
| Cuota | 3.56 | 1.24 | 0.65 | 0.55 |
| Escaños | 3+1 | 1 | 0+1 | 0 |
Observemos de estos datos que el partido A ha perdido unos 2000 votos y el partido D los ha ganado. Sin embargo A gana un escaño y B lo pierde.
?`Hay alguna esperanza de encontrar un método mejor? La respuesta es negativa, Balinski y Young demostraron en 1982 que todos los métodos de reparto, excepto los métodos del divisor, presentan la paradoja de la población.
Así que estamos en un callejón sin salida. El método de Hamilton puede presentar las paradojas de Alabama y de la población y los métodos del divisor no satisfacen en general la condición de la cuota. Y cualquier método que se pueda inventar va a presentar alguno de estos problemas. No hay ningún método matemáticamente perfecto. Por tanto la elección de uno u otro método tiene que ser una decisión política. Se considera que la paradoja de la población y la de Alabama son más dañinas que la violación ocasional de la condición de la cuota. Por eso se recomiendan los métodos del divisor.
Vamos a exponer un ejemplo hipotético, donde aplicaremos algunos métodos. Supongamos que en unas elecciones cada votante tiene que elegir tres partidos por orden de preferencia y que una vez contabilizados los votos los resultados son como sigue:
6 millones de votantes eligen por orden de preferencia PP, IU , PSOE.
5 millones de votantes eligen por orden de preferencia PSOE, IU , PP.
4 millones eligen IU, PSOE, PP.
Ya tenemos los resultados. Para su mejor manejo los colocamos en forma
de tabla
| 6 | 5 | 4 | |
| 1a | PP | PSOE | IU |
| 2a | IU | IU | PSOE |
| 3a | PSOE | PP | PP |
¿Quién es el ganador?
En la primer recuento de votos, la primera vuelta, eliminamos todos los candidatos excepto los dos que más votos tienen. Luego en la segunda vuelta se enfrentan estos dos y gana el que más votos tiene.
En el ejemplo, eliminamos primero a IU porque sólo tiene 4 votos. Ahora, en la segunda vuelta, compiten únicamente PP y PSOE. Si tachamos IU de la tabla de preferencias anterior, el PP obtiene 6 millones de votos y el PSOE 5+4=9 millones. Gana el PSOE por 9 a 6.
Observemos que ahora aparece un ganador distinto al del método anterior. Observemos también que, aunque haya ganado el PSOE, 6+4=10 millones de votantes preferían a IU frente al PSOE.
Una variante de este método, cuando hay más contendientes, se llama eliminación del perdedor. En este nuevo método se van dando sucesivas vueltas en el recuento y se elimina en cada una de ellas al candidato menos votado.
Otra variante es la que se usa en Francia, donde la primera vuelta es
por mayoría absoluta, es decir, gana un partido si obtiene un resultado
mayor que la mitad más uno de los votos. Si no hay ganador en esta
primera vuelta, se realiza una segunda votación donde no se pueden
presentar los partidos más minoritarios y se decide ahora el ganador
por mayoría relativa. Muchas veces se producen coaliciones entre
una y otra vuelta.
Este nombre viene del francés Jean Charles de Borda (1781). Se puntúan los candidatos por orden de preferencia y gana el que más puntos tiene.
En el ejemplo, si damos 3 puntos al primero de la lista, 2 al segundo y 1 al tercero, el resultado queda como sigue:
PP=6 ?3 +5 ?1 +4 ?1 = 27 puntos
PSOE=6 ?1 +5 ?3 +4 ?2 = 29 puntos
IU=6 ?2 +5 ?2 +4 ?3 = 27 puntos
El vencedor es IU.
Se enfrentan todos los canditados dos a dos. Gana el que haya ganado a todos los demás. Fue introducido por el marqués de Condorcet en Francia en 1785.
En el ejemplo que nos ocupa cuando se enfrentan PP con PSOE, esto es, si tachamos IU de la lista de preferencias, el PP obtiene 6 millones de votos mientras que el PSOE obtiene 5+4=9. Gana el PSOE. Las otras dos parejas de enfrentamientos, PP-IU y PSOE-IU producen:
PP-IU PP=6, IU=5+4=9. Gana IU.
PSOE-IU PSOE=5, IU=6+4=10. Gana IU.
Luego el ganador Condorcet es IU ya que ha ganado a los demás cuando se enfrentan cara a cara.
No siempre hay ganador Condorcet. Considérese por ejemplo una elección donde 5 millones de votantes eligen por este orden PP-PSOE-IU. Otros 5 millones eligen PSOE-IU-PP y 5 millones IU-PP-PSOE. No hay ninguno que gane a todos los demás.
Kenneth J. Arrow, profesor de economía de la Universidad de Stanford
recibió el premio Nobel de Ciencias Económicas en 1972.
El Congreso de los Estados Unidos, the U. S. House of Representatives, tiene actualmente un total de 435 miembros que se reparten entre los 50 estados de la unión por el método de Hill-Huntington. Luego cada estado tiene sus circunscripciones electorales. Por ejemplo en Minnesota, a la que le corresponden 10 representantes, tiene el mismo número de circunscripciones. En cada circunscripción los electores eligen el nombre de su elección de una lista de candidatos y gana el que más votos tiene. Este es el sistema de mayoría simple o relativa, llamada también first-past-the-post, esto es, el primero que pasa la meta gana.
El presidente de los Estados Unidos se elige en una asamblea formada por 538 electores. Cada estado contribuye con un bloque de estos delegados o compromisarios, cuyo número es igual a la suma de sus representantes más sus senadores. Excepto Washington DC, que no tiene congresistas, pero si tres electores.
En las papeletas cada candidato a presidente lleva adjunto el nombre de su vicepresidente junto con el partido al que pertenece, en su caso. En cada estado gana el candidato que más votos tiene, pero estos votos no eligen de momento presidente, sino que eligen en bloque a los compromisarios de esta opción que irán después al colegio electoral. Como hay 538 compromisarios en total, un candidato necesita al menos 270 para ser elegido.
(Véase http://www.census.gov/population/www/censusdata/apportionment/faq.html).
(Ver Ley Electoral).