| Líneas de Investigación | Tomeu Barceló, Departamento de Matemáticas, UAM |
Problemas inversos en ecuaciones en derivadas parciales:
| ¿Qué es un problema inverso? |
Supongamos que tenemos un objeto, tal como el chip de un microprocesador o un tanque de agua, del que conocemos la temperatura de su contorno, esto es, de su borde o de su frontera. El problema clásico de las ecuaciones en derivadas parciales es determinar la temperatura en el interior de este objeto conociendo el tipo de material, esto es, conociendo la llamada conductividad térmica del material. La temperatura de dentro viene dada en este caso como la solución de una ecuación en derivadas parciales (la del calor), de la que conocemos sus coeficientes. Ello permite luego conocer el flujo de calor que atraviesa el contorno del objeto.
Un problema inverso sería conocer el tipo de material,
esto es, determinar la conductividad térmica de cada
punto del interior, haciendo distintos experimentos en
los que ponemos una temperatura en el borde del objeto y medimos luego
el flujo de calor que lo atraviesa. Es decir, por medio de medidas experimentales
hechas en el borde del objeto,
debemos determinar su composición interior.
El mismo tipo de problema aparece en otros contextos,
por ejemplo cambiando "temperatura" por "voltaje" y
"flujo de calor que atraviesa el borde" por "corriente
que atraviesa el borde". Un caso concreto sería por ejemplo la de
determinar el tipo de tejido que hay cada punto del interior del cuerpo
humano, esto es determinar la conductividad eléctrica de cada punto
del interior, por medio de medidas de voltaje de baja intensidad y de corriente
que tomamos a partir de una serie de electrodos y sensores colocados sobre
la piel. Ello permitiría ver el interior del cuerpo humano en una
patalla de ordenador.
| En terminología más matemática: | |
El problema clásico es el llamado problema de Dirichlet:
Dada una ecuación y un dato frontera f determinar la solución
u(x) en el interior. Ello permite deteminar luego el
flujo dado por la derivada normal de u(x) en la frontera (dato de Neumann).
El problema inverso es: Conociendo distintas medidas de datos de Dirichlet
junto con sus correspondientes datos de Neumann en la frontera, determinar
los coeficientes de la ecuación.
| Aplicaciones: | |
| Para saber más. Enlaces: | |
|