Método de Diferencias Finitas

 

                        El Método de Diferencias Finitas es un método de carácter general que permite la resolución aproximada de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales definidas en recintos finitos. Es de una gran sencillez conceptual y constituye un procedimiento muy adecuado para la resolución de una ecuación bidimensional como la que hemos planteado.

                        El primer paso para la aplicación del método consiste en discretizar el recinto del plano en el que se quiere resolver la ecuación con una malla, por conveniencia cuadrada. Los puntos de la malla están separados una distancia h en ambas direcciones x e y.

Podemos desarrollar T(x,y) en serie de Taylor alrededor de un punto:

                                    (11)

                                      (12)

                  

Sumando miembro a miembro, agrupando, despreciando los términos o(h3) y despejando el término de la derivada segunda resulta:

                                                                  (13)

                  

De forma similar se obtiene la expresión equivalente:

                                                                  (14)

                   Pero de la ecuación de Laplace:

                                                                                                    (15)

 

por lo tanto:  

                               

            Lo que significa que el valor de la temperatura en un punto se puede escribir como la media de las temperaturas de los 4 puntos vecinos.