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Molécula triatómica lineal

Como modelo para una molécula triatómica lineal, consideremos tres masas unidas por dos muelles armónicos idénticos colineales de longitud natural $d$ y constante de fuerza $\kappa$. Las masas son $m$, $M$ y $m$, siendo $M$ la masa central (figura 1). Sean $x_1$, $X$ y $x_2$ las posiciones horizontales de las masas izquierda, central y derecha, respectivamente, con respecto a un origen fijo. La energía cinética es

\begin{displaymath}
T=\frac{1}{2}m\dot x_1^2+\frac{1}{2}M\dot X^2+\frac{1}{2}m\dot x_2^2
\end{displaymath}

y la energía potencial

\begin{displaymath}
U=\frac{1}{2}\kappa (X-x_1-d)^2+\frac{1}{2}\kappa (x_2-X-d)^2
\end{displaymath}

Esta expresión proporciona términos independiente, lineal y cuadrático. Los dos primeros se pueden eliminar a base de introducir nuevas variables que se anulen en la posición del mínimo. Esa posición es $x_1=0$, $X=d$, $x_2=2d$. Definiendo $q_1=x_1$, $q_2=X-d$, $q_3=x_2-2d$, tenemos

\begin{eqnarray*}
U&=&\frac{1}{2}\kappa (q_1-q_2)^2+\frac{1}{2}\kappa(q_3-q_2)^...
...ppa q_2^2+\frac{1}{2}\kappa q_3^2-
\kappa q_1q_2-\kappa q_2q_3
\end{eqnarray*}



de manera que ahora el mínimo está situado en $q_1=q_2=q_3=0$ y no aparece el término lineal. Esta transformación de coordenadas, sin embargo, no es absolutamente necesaria ya que, como se puede ver, los coeficientes del término cuadrático siguen siendo los mismos. Las matrices ${\bf M}$ y ${\bf A}$ son pues, en el sistema $\{q_i\}$:

\begin{eqnarray*}
{\bf M}=\left(\begin{array}{ccc}m&0&0\\ 0&M&0\\ 0&0&m\end{arr...
... -\kappa&
2\kappa&-\kappa\\ 0&-\kappa&\kappa\end{array}\right)
\end{eqnarray*}



La ecuación secular se obtiene de

\begin{eqnarray*}
{\bf A}-{\bf M}\omega^2=
\left\vert\begin{array}{ccc}\kappa-...
...&-\kappa\\ 0&-\kappa&\kappa-m\omega^2\end{array}\right\vert
=0
\end{eqnarray*}



o sea,

\begin{displaymath}
(\kappa-m\omega^2)^2(2\kappa-M\omega^2)-2\kappa^2(\kappa-m\omega^2)=0
\end{displaymath}

Eliminando un factor global $\kappa-m\omega^2$, que proporciona una de las raices, y simplificando la ecuación que resulta, se obtienen las tres frecuencias características:

\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{l}\kappa-m\omega^2=0\\ \\
mM\omega^4-\...
...playstyle
\kappa(2m+M)}{\displaystyle mM}}
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}



Calculemos ahora los modos normales de vibración. Tenemos: Los valores de $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ se pueden ajustar de manera que los autovectores ${\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ estén normalizados a la unidad. Tenemos:

\begin{eqnarray*}
&&\sum_{jk}m_{jk}a_{jr}a_{ks}=\delta_{rs}\\ &&\\
&&ma_{1r}^2+Ma_{2r}^2+ma_{3r}^2=1
\end{eqnarray*}



Entonces: y los autovectores son

\begin{eqnarray*}
{\bf a}_1=\frac{(1,1,1)}{\sqrt{M+2m}},\hspace{0.4cm}
{\bf a}...
...hspace{0.4cm}
{\bf a}_3=\frac{(1,-2m/M,-1)}{\sqrt{2m(1+2m/M)}}
\end{eqnarray*}



A partir de los autovectores se puede ver qué tipo de movimientos se pueden asociar con los modos normales de este sistema. El primero es un desplazamiento rígido de las tres masas, con frecuencia nula; corresponde al modo de Goldstone del problema, asociado a la simetría de translación del lagrangiano. El segundo es un movimiento en desfase de las masas situadas en los extremos, quedando la masa central fija. En el tercero las masas de los extremos se mueven en desfase, pero la central participa del movimiento.

Las coordenadas de las masas serán:

\begin{eqnarray*}
q_1(t)&=&a_{11}\eta_1(t)+ a_{12}\eta_2(t)+ a_{13}\eta_3(t)=
...
...ta_3(t)=
\alpha_1\eta_1(t)-\alpha_2\eta_2(t)-\alpha_3\eta_3(t)
\end{eqnarray*}



Invirtiendo, obtenemos los modos normales:

\begin{eqnarray*}
\eta_1(t)&=&\frac{\sqrt{M+2m}}{2}(q_1+q_2)\\ &&\\
\eta_2(t)...
...+2m}\\ &&\\
\eta_3(t)&=&\frac{-q_1+2q_2-q_3}{\sqrt{2m(M+2m)}}
\end{eqnarray*}



Para interpretar estos modos normales, buscamos los valores de $q_1,q_2$ y $q_3$ que anulan todos los modos excepto uno. Haciendo $q_1=q_2=q_3$, lo cual implica una translación rígida deñ sistema de masas sin ninguna deformación de los muelles, vemos que $\eta_2=\eta_3=0$, con lo cual el único modo excitado es el primero, con frecuencia nula, como esperábamos.

Para anular el primer modo y a la vez el tercer modo, basta con hacer $q_1=-q_3$ y $q_2=0$, y el único modo excitado que resulta es el segundo, que corresponde por tanto a tener las masas de los extremos moviendose en desfase y la masa central parada. Por último, la elección $q_1=-q_2$ y

\begin{displaymath}
\frac{q_1}{q_3}=-\frac{M+2m}{3M-2m}
\end{displaymath}

hace que el único modo excitado sea el tercero. Este modo corresponde a un movimiento en el que las masas primera y segunda oscilan en desfase, y a su vez la tercera oscila en desfase o fase (según el signo de $3M-2m$) con respecto a la primera.

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Enrique Velasco 2003-04-08