Modos normales y frecuencias propias de un péndulo doble

Encontrar las frecuencias propias y discutir los modos normales (en la aproximación de pequeñas oscilaciones) de un péndulo doble plano (en el que el plano de oscilación de ambas masas es el mismo y permanece fijo).

El lagrangiano del péndulo doble es

$$L=\frac{ml^2}{2}[2\dot\theta_1^2+\dot\theta_2^2+2\dot\theta... ...os{(\theta_1-\theta_2)}]+2mgl\cos{\theta_1}+mgl\cos{\theta_2}$$

En aproximación armónica

$$L=\frac{ml^2}{2}[2\dot\theta_1^2+\dot\theta_2^2+2\dot\theta... ...{\theta_1^2}{2}\right)+mgl\left(1-\frac{\theta_2^2}{2}\right)$$

y eliminando las constantes,

$$L=\frac{ml^2}{2}[2\dot\theta_1^2+\dot\theta_2^2+2\dot\theta... ...ot\theta_2] -mgl\left(\theta_1^2+\frac{\theta_2^2}{2}\right)$$

Las matrices A y m son

$$\begin{eqnarray*} \hbox{\bf A}=\left(\begin{array}{cc}2mgl&0\\ 0&mgl\end{arra... ...\left(\begin{array}{cc}2ml^2&ml^2\\ ml^2&ml^2\end{array}\right) \end{eqnarray*}$$

y las frecuencias propias vienen dadas por la ecuación

$$\begin{eqnarray*} \hbox{det}(\hbox{\bf A}-\hbox{\bf m}\omega^2)= \left\vert\be... ...ert= (2mgl-2ml^2\omega^2)(mgl-ml^2\omega^2)-(ml^2\omega^2)^2=0 \end{eqnarray*}$$

de donde

$$\omega^4-4\omega_0^2\omega^2+2\omega_0^4=0$$

cuyas soluciones son

$$\omega^2=\frac{1}{2}\left(4\omega_0^2\pm\sqrt{16\omega_0^4-... ...a_0^2(2\pm\sqrt{2}),\hspace{0.4cm}\omega_0^2\equiv\frac{g}{l}$$

Las dos frecuencias características son pues

$$\omega_1=\omega_0\sqrt{2+\sqrt{2}},\hspace{0.4cm} \omega_2=\omega_0\sqrt{2-\sqrt{2}}$$

Calculemos ahora los autovectores. Para $\omega=\omega_1$

$$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cc} -2(1+\sqrt{2})mgl&-mgl(2+\sqrt{2})\\... ...w\hspace{0.4cm} a_{11}=-a_{21}\frac{2+\sqrt{2}}{2(\sqrt{2}+1)} \end{eqnarray*}$$

Para $\omega=\omega_2$,

$$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cc} -2(1-\sqrt{2})mgl&-mgl(2-\sqrt{2})\\... ...ow\hspace{0.4cm} a_{12}=a_{22}\frac{2-\sqrt{2}}{2(\sqrt{2}-1)} \end{eqnarray*}$$

La dependencia temporal de los ángulos en función del tiempo es por tanto

$$\begin{eqnarray*} &&\theta_1(t)=a_{11}\eta_1(t)+a_{12}\eta_2(t)= -a_{21}\frac{... ...-1)}\eta_2(t)\\ &&\theta_2(t)=a_{21}\eta_1(t)+a_{22}\eta_2(t) \end{eqnarray*}$$

Invirtiendo,

$$\begin{eqnarray*} &&\eta_1=\frac{(2-\sqrt{2})\theta_2-2(\sqrt{2}-1)\theta_1} {... ...)\theta_2+2(\sqrt{2}+1)\theta_1} {2\sqrt{2}a_{22}(1+\sqrt{2})} \end{eqnarray*}$$

Si ahora hacemos $(2-\sqrt{2})\theta_1+(\sqrt{2}-1)\theta_2=0$ de modo que $\eta_1=0$, vemos que el modo de oscilación asociado a $\omega_2$ tiene amplitudes relacionadas mediante

$$\theta_1(t)=\theta_2(t)\left[\frac{2-\sqrt{2}}{2(\sqrt{2}-1)}\right]$$

es decir, en fase, ya que la cantidad entre corchetes es positiva; éste es el modo simétrico, con frecuencia menor. Si por el contrario hacemos $(2+\sqrt{2})\theta_2+2(\sqrt{2}+1)\theta_1=0$, de manera que $\eta_2=0$, vemos que el modo de oscilación asociado a $\omega_1$ tiene amplitudes relacionadas mediante

$$\theta_1(t)=-\theta_2(t)\left[\frac{2+\sqrt{2}}{2(\sqrt{2}+1)}\right]$$

es decir, en desfase (modo antisimétrico, frecuencia mayor).