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Modos normales y frecuencias propias de un péndulo doble

Encontrar las frecuencias propias y discutir los modos normales (en la aproximación de pequeñas oscilaciones) de un péndulo doble plano (en el que el plano de oscilación de ambas masas es el mismo y permanece fijo).

El lagrangiano del péndulo doble es

\begin{displaymath}
L=\frac{ml^2}{2}[2\dot\theta_1^2+\dot\theta_2^2+2\dot\theta...
...os{(\theta_1-\theta_2)}]+2mgl\cos{\theta_1}+mgl\cos{\theta_2}
\end{displaymath}

En aproximación armónica

\begin{displaymath}
L=\frac{ml^2}{2}[2\dot\theta_1^2+\dot\theta_2^2+2\dot\theta...
...{\theta_1^2}{2}\right)+mgl\left(1-\frac{\theta_2^2}{2}\right)
\end{displaymath}

y eliminando las constantes,

\begin{displaymath}
L=\frac{ml^2}{2}[2\dot\theta_1^2+\dot\theta_2^2+2\dot\theta...
...ot\theta_2]
-mgl\left(\theta_1^2+\frac{\theta_2^2}{2}\right)
\end{displaymath}

Las matrices A y m son

\begin{eqnarray*}
\hbox{\bf A}=\left(\begin{array}{cc}2mgl&0\\
0&mgl\end{arra...
...\left(\begin{array}{cc}2ml^2&ml^2\\ ml^2&ml^2\end{array}\right)
\end{eqnarray*}



y las frecuencias propias vienen dadas por la ecuación

\begin{eqnarray*}
\hbox{det}(\hbox{\bf A}-\hbox{\bf m}\omega^2)=
\left\vert\be...
...ert=
(2mgl-2ml^2\omega^2)(mgl-ml^2\omega^2)-(ml^2\omega^2)^2=0
\end{eqnarray*}



de donde

\begin{displaymath}
\omega^4-4\omega_0^2\omega^2+2\omega_0^4=0
\end{displaymath}

cuyas soluciones son

\begin{displaymath}
\omega^2=\frac{1}{2}\left(4\omega_0^2\pm\sqrt{16\omega_0^4-...
...a_0^2(2\pm\sqrt{2}),\hspace{0.4cm}\omega_0^2\equiv\frac{g}{l}
\end{displaymath}

Las dos frecuencias características son pues

\begin{displaymath}
\omega_1=\omega_0\sqrt{2+\sqrt{2}},\hspace{0.4cm}
\omega_2=\omega_0\sqrt{2-\sqrt{2}}
\end{displaymath}

Calculemos ahora los autovectores. Para $\omega=\omega_1$

\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{cc}
-2(1+\sqrt{2})mgl&-mgl(2+\sqrt{2})\\...
...w\hspace{0.4cm}
a_{11}=-a_{21}\frac{2+\sqrt{2}}{2(\sqrt{2}+1)}
\end{eqnarray*}



Para $\omega=\omega_2$,

\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{cc}
-2(1-\sqrt{2})mgl&-mgl(2-\sqrt{2})\\...
...ow\hspace{0.4cm}
a_{12}=a_{22}\frac{2-\sqrt{2}}{2(\sqrt{2}-1)}
\end{eqnarray*}



La dependencia temporal de los ángulos en función del tiempo es por tanto

\begin{eqnarray*}
&&\theta_1(t)=a_{11}\eta_1(t)+a_{12}\eta_2(t)=
-a_{21}\frac{...
...-1)}\eta_2(t)\\
&&\theta_2(t)=a_{21}\eta_1(t)+a_{22}\eta_2(t)
\end{eqnarray*}



Invirtiendo,

\begin{eqnarray*}
&&\eta_1=\frac{(2-\sqrt{2})\theta_2-2(\sqrt{2}-1)\theta_1}
{...
...)\theta_2+2(\sqrt{2}+1)\theta_1}
{2\sqrt{2}a_{22}(1+\sqrt{2})}
\end{eqnarray*}



Si ahora hacemos $(2-\sqrt{2})\theta_1+(\sqrt{2}-1)\theta_2=0$ de modo que $\eta_1=0$, vemos que el modo de oscilación asociado a $\omega_2$ tiene amplitudes relacionadas mediante

\begin{displaymath}
\theta_1(t)=\theta_2(t)\left[\frac{2-\sqrt{2}}{2(\sqrt{2}-1)}\right]
\end{displaymath}

es decir, en fase, ya que la cantidad entre corchetes es positiva; éste es el modo simétrico, con frecuencia menor. Si por el contrario hacemos $(2+\sqrt{2})\theta_2+2(\sqrt{2}+1)\theta_1=0$, de manera que $\eta_2=0$, vemos que el modo de oscilación asociado a $\omega_1$ tiene amplitudes relacionadas mediante

\begin{displaymath}
\theta_1(t)=-\theta_2(t)\left[\frac{2+\sqrt{2}}{2(\sqrt{2}+1)}\right]
\end{displaymath}

es decir, en desfase (modo antisimétrico, frecuencia mayor).
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Enrique Velasco 2003-04-08