Ecuaciones de movimiento de un sistema de muelles

Considerar el sistema formado por dos cuerpos $1$ y $2$, de masa $M$, unidas cada una a una pared a través de un muelle de longitud de equilibrio $l=0$ y constante de recuperación $\kappa$, y entre sí mediante un muelle de longitud de equilibrio nula y constante de recuperación $\kappa_{12}$ (ver figura). Aplicando dinámica de Lagrange, demostrar que las ecuaciones del movimiento son:

$$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{l} M\ddot x_1+(\kappa+\kappa_{12})x_1-\... ... x_2+(\kappa+\kappa_{12})x_2-\kappa_{12}x_1=0\end{array}\right. \end{eqnarray*}$$

Sean $x_1$ y $x_2$ las posiciones de las masas medidas desde sus posiciones de equilibrio respectivas. El lagrangiano del sistema es:

$$L=\frac{1}{2}M\dot x_1^2+\frac{1}{2}M\dot x_2^2+\frac{1}{2}... ...2+\frac{1}{2} \kappa_{12}(x_2-x_1)^2+\frac{1}{2}\kappa x_2^2$$

Escribamos las ecuaciones de Lagrange:

$$\frac{\partial L}{\partial x_1}-\frac{d}{dt}\frac{\partial ... ...w\hspace{0.4cm} \kappa x_1-\kappa_{12}(x_2-x_1)-M\ddot x_1=0$$

$$\frac{\partial L}{\partial x_2}-\frac{d}{dt}\frac{\partial ... ...w\hspace{0.4cm} \kappa x_2+\kappa_{12}(x_2-x_1)-M\ddot x_2=0$$

que, reorganizando los términos, se pueden escribir:

$$\begin{eqnarray*} &&M\ddot x_1+(\kappa+\kappa_{12})x_1-\kappa_{12}x_2=0\\ &&M\ddot x_2+(\kappa+\kappa_{12})x_2-\kappa_{12}x_1=0 \end{eqnarray*}$$