Solución de las ecuaciones del sistema del problema 1

Considerar el sistema del problema 1. Demostrar explícitamente, mediante sustitución directa, que la solución general de las ecuaciones de movimiento de este problema es:

$$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{l} x_1(t)=\alpha e^{i\omega_1t}+\beta e... ...gamma e^{i\omega_2t}+\delta e^{-i\omega_2t} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$

donde $\alpha, \beta, \gamma$ y $\delta$ son constantes arbitrarias, y

$$\omega_1=\sqrt{\frac{\kappa+2\kappa_{12}}{M}},\hspace{0.4cm} \omega_2=\sqrt{\frac{\kappa}{M}}$$

Derivando dos veces:

$$\ddot x_1=-\omega_1^2\alpha e^{i\omega_1t}-\omega_1^2\beta ... ..._2^2\gamma e^{i\omega_2t}-\omega_2^2\delta e^{-i\omega_2t}\\$$

$$\ddot x_2=\omega_1^2\alpha e^{i\omega_1t}+\omega_1^2\beta e... ..._2^2\gamma e^{i\omega_2t}-\omega_2^2\delta e^{-i\omega_2t}\\$$

Sustituyendo en la primera ecuación:

$$\begin{eqnarray*} &&M\ddot x_1+(\kappa+\kappa_{12})x_1-\kappa_{12}x_2= -M\omeg... ...) \left(\gamma e^{i\omega_2t}+ \delta e^{-i\omega_2t}\right)=0 \end{eqnarray*}$$

ya que, debido a la definición de las frecuencias $\omega_1$ y $\omega_2$, tenemos que $-M\omega_1^2+\kappa+2\kappa_{12}=0$ y $-M\omega_2^2+\kappa=0$. Sustituyendo en la segunda ecuación:

$$\begin{eqnarray*} &&M\ddot x_2+(\kappa+\kappa_{12})x_2-\kappa_{12}x_1= M\omega... ...) \left(\gamma e^{i\omega_2t}+ \delta e^{-i\omega_2t}\right)=0 \end{eqnarray*}$$

debido nuevamente a las definiciones de $\omega_1$ y $\omega_2$. Puesto que las funciones son solución de las ecuaciones, y además contienen cuatro constantes arbitrarias, número exigido por el hecho de tener dos ecuaciones de segundo orden, es evidente que se trata de la solución general.