Modos normales del sistema del problema 1

Considerar el sistema del problema 1. y aplicar la transformación lineal de coordenadas

$$\begin{eqnarray*} (x_1, x_2)\hspace{0.2cm}\rightarrow\hspace{0.3cm}(q_1, q_2)\h... ...}x_1+a_{12}x_2\ \ q_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2 \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$

Obtener las ecuaciones de movimiento para $(q_1, q_2)$, y demostrar que las ecuaciones se desacoplan cuando $a_{11}=-a_{12}$ y $a_{21}=a_{22}$. Las coordenadas $(q_1, q_2)$ son por tanto las coordenadas normales correspondientes a los modos normales.

Primero invertimos la transformación:

$$x_1=\frac{a_{22}q_1-a_{12}q_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}},\... ...m} x_2=\frac{a_{11}q_2-a_{21}q_1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$$

Derivando:

$$\ddot x_1=\frac{a_{22}\ddot q_1-a_{12}\ddot q_2}{a_{11}a_{2... ...c{a_{11}\ddot q_2-a_{21}\ddot q_1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$$

Sustituyendo en las ecuaciones diferenciales:

$$M\ddot x_1+(\kappa+\kappa_{12})x_1-\kappa_{12}x_2= M(a_{22... ...{12}) (a_{22}q_1-a_{12}q_2)-\kappa_{12}(a_{11}q_2-a_{21}q_1)$$

$$=Ma_{22}\ddot q_1+[\kappa a_{22}+\kappa_{12}(a_{22}+a_{21})... ...{12}\ddot q_2-[\kappa a_{12}+\kappa_{12}(a_{12}+a_{11})]q_2=0$$

$$M\ddot x_2+(\kappa+\kappa_{12})x_2-\kappa_{12}x_1= M(a_{11... ...{12}) (a_{11}q_2-a_{21}q_1)-\kappa_{12}(a_{22}q_1-a_{12}q_2)$$

$$Ma_{11}\ddot q_2+[\kappa a_{11}+\kappa_{12}(a_{11}+a_{12})]... ...{21}\ddot q_1-[\kappa a_{21}+\kappa_{12}(a_{21}+a_{22})]q_1=0$$

Ahora, si $a_{11}=-a_{12}$ y $a_{21}=a_{22}$:

$$a_{22}\left[M\ddot q_1+(\kappa+2\kappa_{12})q_1\right] +a_{11}\left[M\ddot q_2+\kappa q_2\right]=0$$

$$a_{11}\left[M\ddot q_2+\kappa q_2\right]-a_{22}\left[M\ddot q_1 +(\kappa+2\kappa_{12})q_1\right]=0$$

Si sumamos las ecuaciones, y luego las restamos, obtenemos dos ecuaciones diferenciales desacopladas para $q_1$ y $q_2$:

$$M\ddot q_1+(\kappa+2\kappa_{12})q_1=0,\hspace{0.4cm} M\ddot q_2+\kappa q_2=0$$

que son las ecuaciones que verifican los modos normales, con sus correspondientes frecuencias características.