Sistema del problema 1 en acoplamiento débil

Considerar el sistema del problema 1. En la aproximación de acoplamiento débil, $\kappa_{12}\ll\kappa$, y considerando las condiciones iniciales $x_1(0)=D, x_2(0)=0, \dot x_1(0)=0, \dot x_2(0)=0$, demostrar que

$$x_2(t)=D\sin{(\omega_0\epsilon t)}\sin{\omega_0t},\hspace{0... ..._{12}}{M}},\hspace{0.4cm}\epsilon=\frac{\kappa_{12}}{2\kappa}$$

Demostrar que la energía se transfiere entre ambas masas en un tiempo $T=\pi/2\epsilon\omega_0$.

En clase demostramos que para la coordenada $x_1$ tenemos:

$$x_1(t)=D\cos{(\omega_0\epsilon t)}\cos{\omega_0t}$$

Siguiendo los mismos pasos, vamos a obtener la coordenada $x_2$. Como la solución general es

$$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{l} x_1(t)=\alpha e^{i\omega_1t}+\beta e... ...gamma e^{i\omega_2t}+\delta e^{-i\omega_2t} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$

imponiendo las condiciones iniciales obtenemos

$$D=\alpha+\beta+\gamma+\delta,\hspace{0.4cm} 0=(\alpha-\beta)i\omega_1+(\gamma-\delta)i\omega_2$$

$$0=-\alpha-\beta+\gamma+\delta,\hspace{0.4cm} 0=(-\alpha+\beta)i\omega_1+(\gamma-\delta)i\omega_2$$

de donde

$$\alpha=\beta=\gamma=\delta=\frac{D}{4}$$

y

$$x_1(t)=\frac{D}{4}\left(e^{i\omega_1t}+e^{-i\omega_1t}+e^{i... ...ight)=\frac{D}{2}\left(\cos{\omega_1t}+\cos{\omega_2t}\right)$$

$$x_2(t)=\frac{D}{4}\left(-e^{i\omega_1t}-e^{-i\omega_1t}+e^{... ...ight)=\frac{D}{2}\left(\cos{\omega_2t}-\cos{\omega_1t}\right)$$

Demostremos que

$$\frac{1}{2}\left(\cos{\omega_1t}+\cos{\omega_2t}\right) =\... ...{2}t\right)} \cos{\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)}$$

Para ello, desarrollamos el segundo miembro:

$$\cos{\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)}= \cos{\fra... ..._2t}{2}} -\sin{\frac{\omega_1t}{2}}\sin{\frac{\omega_2t}{2}}$$

$$\cos{\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)}= \cos{\fra... ..._2t}{2}} +\sin{\frac{\omega_1t}{2}}\sin{\frac{\omega_2t}{2}}$$

$$\cos{\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)} \cos{\left... ...{2}} -\sin^2{\frac{\omega_1t}{2}}\sin^2{\frac{\omega_2t}{2}}$$

$$=\frac{1}{2}\left(1+\cos{\omega_1t}\right) \frac{1}{2}\lef... ...{\omega_1t}\right) \frac{1}{2}\left(1-\cos{\omega_2t}\right)$$

$$=\frac{1}{2}\left(\cos{\omega_1t}+\cos{\omega_2t}\right)$$

Igualmente, demostremos que

$$\frac{1}{2}\left(\cos{\omega_2t}-\cos{\omega_1t}\right) =\... ...{2}t\right)} \sin{\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)}$$

Para ello, desarrollamos el segundo miembro:

$$\sin{\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)}= \sin{\fra... ..._2t}{2}} +\cos{\frac{\omega_1t}{2}}\sin{\frac{\omega_2t}{2}}$$

$$\sin{\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)}= \sin{\fra... ..._2t}{2}} -\cos{\frac{\omega_1t}{2}}\sin{\frac{\omega_2t}{2}}$$

$$\sin{\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)} \sin{\left... ...{2}} -\cos^2{\frac{\omega_1t}{2}}\sin^2{\frac{\omega_2t}{2}}$$

$$=\frac{1}{2}\left(1-\cos{\omega_1t}\right) \frac{1}{2}\lef... ...{\omega_1t}\right) \frac{1}{2}\left(1-\cos{\omega_2t}\right)$$

$$=\frac{1}{2}\left(\cos{\omega_2t}-\cos{\omega_1t}\right)$$

Por tanto:

$$x_1(t)=D\cos{\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)} \c... ...{2}t\right)} \sin{\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)}$$

En la aproximación de acoplamiento débil,

$$\omega_1\approx\omega_0(1+\epsilon),\hspace{0.3cm} \omega_... ...,\hspace{0.3cm} \omega_0=\sqrt{\frac{\kappa+\kappa_{12}}{M}}$$

con lo cual

$$\frac{\omega_1+\omega_2}{2}=\omega_0,\hspace{0.4cm} \frac{\omega_1-\omega_2}{2}=\omega_0\epsilon$$

y

$$x_1(t)=\left[D\cos{(\omega_0\epsilon t)}\right]\cos{\omega_... ..._2(t)=\left[D\sin{(\omega_0\epsilon t)}\right]\sin{\omega_0t}$$

En $t=0$, $x_2=0$, mientras que $x_1$ se encuentra en su máxima amplitud. La coordenada $x_2$ tendrá su máxima amplitud cuando

$$\sin{(\omega_0\epsilon T)}=1\hspace{0.3cm}\rightarrow\hspac... ...cm}\rightarrow\hspace{0.3cm} T=\frac{\pi}{2\epsilon\omega_0}$$