Modos normales del sistema del problema 1

Considerar el sistema del problema 1. Escribir la matriz dinámica $A-m\omega^2$ y diagonalizarla, obteniendo las frecuencias características y los autovectores. Normalizar éstos, escribiendo la solución general para las coordenadas $x_1(t)$ y $x_2(t)$ en términos de los modos normales. Identificar el movimiento de las masas que corresponde a los dos modos normales, diciendo cuál es el modo simétrico y cuál el antisimétrico.

El lagrangiano del sistema es

$$L=\frac{1}{2}M\dot x_1^2+\frac{1}{2}M\dot x_2^2+\frac{1}{2}... ...2+\frac{1}{2} \kappa_{12}(x_2-x_1)^2+\frac{1}{2}\kappa x_2^2$$

$$=\frac{1}{2}M\dot x_1^2+\frac{1}{2}M\dot x_2^2+ \frac{1}{2... ...1^2 +\frac{1}{2}(\kappa+\kappa_{12}) x_2^2-\kappa_{12}x_1x_2$$

A partir de aquí, las matrices ${\bf A}$ y ${\bf M}$ son:

$$\begin{eqnarray*} {\bf A}=\left( \begin{array}{cc}\kappa+\kappa_{12}&-\kappa_{... ...\bf M}=\left( \begin{array}{cc}M&0\ 0&M \end{array} \right) \end{eqnarray*}$$

con lo cual la matriz dinámica ${\bf A}-{\bf M}\omega^2$ es:

$$\begin{eqnarray*} {\bf A}-{\bf M}\omega^2=\left( \begin{array}{cc}\kappa+\kapp... ...appa_{12}&\kappa+\kappa_{12}-m\omega^2\\ \end{array} \right) \end{eqnarray*}$$

Las frecuencias características son:

$$\begin{eqnarray*} \vert{\bf A}-{\bf M}\omega^2\vert=\left\vert \begin{array}{c... ...isplaystyle\omega_2=\sqrt{\frac{\kappa}{M}} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$

Los autovectores son:

• $\omega_1$:
  $$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cc}-\kappa_{12}&-\kappa_{12}\\ -\kappa_... ...ay}\right)\hspace{0.4cm}\rightarrow\hspace{0.4cm}a_{11}=-a_{21} \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  

• $\omega_2$:
  $$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cc}\kappa_{12}&-\kappa_{12}\\ -\kappa_{... ...ray}\right)\hspace{0.4cm}\rightarrow\hspace{0.4cm}a_{12}=a_{22} \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  

con lo que las coordenadas en términos de los modos normales $\eta_1(t)$ y $\eta_2(t)$ son:

$$x_1(t)=a_{11}\eta_1(t)+a_{12}\eta_2(t)=a_{11}\eta_1(t)+a_{22}\eta_2(t)$$

$$x_2(t)=a_{21}\eta_1(t)+a_{22}\eta_2(t)=-a_{11}\eta_1(t)+a_{22}\eta_2(t)$$

Para normalizar los autovectores, aplicamos la relación de ortonormalización:

$$\sum_{jk}M_{kj}a_{jr}a_{ks}=\delta_{rs}\hspace{0.3cm}\right... ...kj}a_{jr}a_{kr}=1\hspace{0.3cm}\hbox{cuando}\hspace{0.2cm}r=s$$

Como ${\bf M}$ es diagonal, $M_{ij}=M\delta_{ij}$,

$$M\sum_{j=1}^2a_{jr}^2=1,\hspace{0.3cm}r=1,2$$

Para $r=1$:

$$a_{11}^2+a_{21}^2=\frac{1}{M},\hspace{0.4cm}a_{11}=-a_{21}=\frac{1}{\sqrt{2M}}$$

Para $r=2$:

$$a_{12}^2+a_{22}^2=\frac{1}{M},\hspace{0.4cm}a_{22}=a_{12}=\frac{1}{\sqrt{2M}}$$

de manera que

$$x_1(t)=\frac{\eta_1(t)+\eta_2(t)}{\sqrt{2M}},\hspace{0.4cm} x_2(t)=\frac{\eta_2(t)-\eta_1(t)}{\sqrt{2M}}$$

Para identificar los modos normales, invertimos las ecuaciones anteriores:

$$\eta_1(t)=\sqrt{\frac{M}{2}}[x_1(t)-x_2(t)],\hspace{0.4cm} \eta_2(t)=\sqrt{\frac{M}{2}}[x_1(t)+x_2(t)]$$

Por tanto, el modo $\eta_1(t)$, con frecuencia $\omega_1$, corresponde a un movimiento en el que $x_1(t)=-x_2(t)$ (modo antisimétrico, frecuencia más alta), mientras que el modo $\eta_2(t)$, con frecuencia $\omega_2$, corresponde a un movimiento en el que $x_1(t)=x_2(t)$ (modo simétrico, frecuencia más baja).