Sistema del problema 1 pero con masas distintas

Considerar el sistema del problema 1, pero suponer que ahora las masas son distintas e iguales a $M_1$ y $M_2$. Obtener la matriz dinámica $A-m\omega^2$ y diagonalizarla, obteniendo las frecuencias características y los autovectores. Normalizar éstos, escribiendo la solución general para las coordenadas $x_1(t)$ y $x_2(t)$ en términos de los modos normales. Identificar el movimiento de las masas que corresponde a los dos modos normales, diciendo cuál es el modo simétrico y cuál el antisimétrico.

Ahora el lagrangiano es

$$L=\frac{1}{2}M_1\dot x_1^2+\frac{1}{2}M_2\dot x_2+\frac{1}{... ...2+ \frac{1}{2}\kappa_{12}(x_2-x_1)^2+\frac{1}{2}\kappa x_2^2$$

$$=\frac{1}{2}M_1\dot x_1^2+\frac{1}{2}M_2\dot x_2+\frac{1}{2... ..._1^2 -\kappa_{12}x_1x_2+\frac{1}{2}(\kappa+\kappa_{12})x_2^2$$

Entonces:

$$\begin{eqnarray*} {\bf A}=\left( \begin{array}{cc}\kappa+\kappa_{12}&-\kappa_{... ...M}=\left( \begin{array}{cc}M_1&0\ 0&M_2 \end{array} \right) \end{eqnarray*}$$

y la condición sobre el determinante de $\vert{\bf A}-M\omega^2\vert$ es

$$\begin{eqnarray*} \vert{\bf A}-M\omega^2\vert= \left\vert \begin{array}{cc}\k... ...}&\kappa+\kappa_{12}-M_2\omega^2\\ \end{array} \right\vert=0 \end{eqnarray*}$$

de donde obtenemos la ecuación secular:

$$(\kappa+\kappa_{12}-M_1\omega^2)(\kappa+\kappa_{12}-M_2\omega^2)-\kappa_{12}^2=0$$

que podemos escribir:

$$(\omega^2)^2-\frac{M_1+M_2}{M_1M_2}(\kappa+\kappa_{12})\omega^2+\frac{\kappa(\kappa+2\kappa_{12})}{M_1M_2}=0$$

cuyas soluciones son:

$$\omega^2_{1,2}=\frac{1}{2}\left[\frac{M_1+M_2}{M_1M_2}(\kap... ...{12})^2-4\frac{\kappa(\kappa+2\kappa_{12})}{M_1M_2} }\right]$$

$$=\frac{1}{2M_1M_2}\left[(M_1+M_2)(\kappa+\kappa_{12})\pm \... ...ppa+\kappa_{12})^2-4M_1M_2\kappa(\kappa+2\kappa_{12})}\right]$$

Las frecuencias $\omega_1$ y $\omega_2$ corresponden a tomar el signo $+$ y $-$, respectivamente. Claramente $\omega_1>\omega_2$. Puede verificarse que, en el caso en que $M_1=M_2$, recuperamos las expresiones conocidas. Las combinaciones $\kappa+\kappa_{12}-M_1\omega_1^2$ etc. son:

$$\kappa+\kappa_{12}-M_1\omega_{1,2}^2=\frac{(\kappa+\kappa_{12})(M_2-M_1)\mp \Delta} {2M_2}$$

$$\kappa+\kappa_{12}-M_2\omega_{1,2}^2=\frac{(\kappa+\kappa_{12})(M_1-M_2)\mp \Delta} {2M_1}$$

con

$$\Delta =\sqrt{(M_1+M_2)^2(\kappa+\kappa_{12})^2-4M_1M_2\kappa(\kappa+2\kappa_{12})}$$

Calculemos los autovectores:

• $\omega=\omega_1$. Tenemos el sistema:
  $$\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{cc} \frac{(\kappa+\kappa_{12})(M_2-M_1... ...end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\ 0\end{array}\right) \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  
  de donde (usamos la primera ecuación; coger la segunda sería equivalente)
  
  $$a_{21}=a_{11}\frac{(\kappa+\kappa_{12})(M_2-M_1)-\Delta}{2M_2\kappa_{12}}$$
  
  

• $\omega=\omega_2$. Tenemos el sistema:
  $$\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{cc} \frac{(\kappa+\kappa_{12})(M_2-M_1... ...end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\ 0\end{array}\right) \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  
  de donde (ahora usamos por conveniencia la segunda ecuación)
  
  $$a_{12}=a_{22}\frac{(\kappa+\kappa_{12})(M_1-M_2)+\Delta}{2M_1\kappa_{12}}$$
  
  

Normalicemos ahora los autovectores. La ecuación de ortonormalización es:

$$\sum_{j,k=1}^3 M_{kj}a_{jr}a_{ks}=\delta_{rs}$$

donde $M_{kj}=M_k\delta_{kj}$ (ya que la matriz ${\bf M}$ es diagonal). Entonces la condición se convierte en:

$$\sum_{k=1}^3 M_{k}a_{kr}a_{ks}=\delta_{rs},\hspace{0.4cm} \sum_{k=1}^3 M_{k}a_{kr}^2=1\hspace{0.2cm}(r=s)$$

Para $r=1$:

$$M_1a_{11}^2+M_2a_{21}^2= a_{11}^2\left\{M_1+M_2 \left[\fr... ..._{12})(M_2-M_1)-\Delta}{2M_2\kappa_{12}}\right]^2 \right\}=1$$

de donde

$$a_{11}=\left\{M_1+M_2 \left[\frac{(\kappa+\kappa_{12})(M_2-M_1)-\Delta}{2M_2\kappa_{12}}\right]^2 \right\}^{-2}$$

Para $r=2$:

$$M_1a_{12}^2+M_2a_{22}^2= a_{22}^2\left\{M_2+M_1 \left[\fr... ..._{12})(M_1-M_2)+\Delta}{2M_1\kappa_{12}}\right]^2 \right\}=1$$

de donde

$$a_{22}=\left\{M_2+M_1 \left[\frac{(\kappa+\kappa_{12})(M_1-M_2)+\Delta}{2M_1\kappa_{12}}\right]^2 \right\}^{-2}$$

El movimiento general del sistema es:

$$x_1(t)=a_{11}\eta_1(t)+a_{12}\eta_2(t),\hspace{0.4cm} x_2(t)=a_{21}\eta_1(t)+a_{22}\eta_2(t)$$

Invirtiendo:

$$\eta_1(t)=\frac{a_{22}x_1(t)-a_{12}x_2(t)}{a_{11}a_{22}-a_{... ...)=\frac{a_{11}x_2(t)-a_{21}x_1(t)}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$$

El modo 1 corresponde a anular el modo 2, es decir, hacer

$$a_{11}x_2(t)-a_{21}x_1(t)=0\hspace{0.3cm}\rightarrow\hspace... ...a+\kappa_{12})(M_2-M_1)-\Delta}{2M_2\kappa_{12}}\right]x_1(t)$$

y es el modo antisimétrico, asociado a la frecuencia más alta $\omega_1$. Para ver que el factor de proporcionalidad entre $x_2$ y $x_1$ es negativo, tengamos en cuenta que

$$\Delta= \sqrt{(M_1+M_2)^2(\kappa+\kappa_{12})^2-4M_1M_2\ka... ...\frac{\kappa(\kappa+2\kappa_{12})} {(\kappa+\kappa_{12})^2}}$$

$$=(\kappa+\kappa_{12})\sqrt{(M_1+M_2)^2-4M_1M_2\frac{(\kappa... ...\sqrt{(M_1-M_2)^2+\frac{4M_1M_2}{(1+\kappa/\kappa_{12})^2 }}$$

de manera que el factor de proporcionalidad es

$$\frac{(\kappa+\kappa_{12})(M_2-M_1)-\Delta}{2M_2\kappa_{12}... ...M_1-M_2)^2+\frac{4M_1M_2}{(1+\kappa/\kappa_{12})^2}}\right]<0$$

independientemente de qué masa sea mayor.

El modo 2 corresponde a anular el modo 1, es decir, hacer

$$a_{22}x_1(t)-a_{12}x_2(t)=0\hspace{0.3cm}\rightarrow\hspace... ...a+\kappa_{12})(M_1-M_2)+\Delta}{2M_1\kappa_{12}}\right]x_2(t)$$

y es el modo simétrico, asociado a la frecuencia más alta $\omega_2$. Para ver que el factor de proporcionalidad entre $x_1$ y $x_2$ es positivo, hacemos:

$$\frac{(\kappa+\kappa_{12})(M_1-M_2)+\Delta}{2M_1\kappa_{12}... ...M_1-M_2)^2+\frac{4M_1M_2}{(1+\kappa/\kappa_{12})^2}}\right]>0$$

también independientemente de qué masa sea mayor.