Otra perspectiva matemática para el problema general de las oscilaciones acopladas

Consideremos el problema general de oscilaciones armónicas en un sistema, es decir, la solución de la ecuación vectorial

$$\begin{eqnarray*} {\bf M}\cdot\ddot{\bf x}+{\bf A}\cdot{\bf x}={\bf0},\hspace{0... ...x},\hspace{0.4cm} U=\frac{1}{2}{\bf x}\cdot{\bf A}\cdot{\bf x} \end{eqnarray*}$$

Es sabido que, sustituyendo una función exponencial compleja, obtenemos un sistema lineal

$$\begin{eqnarray*} {\bf x}={\bf c}e^{i\omega t}\hspace{0.4cm}\rightarrow\hspace{0.4cm} {\bf A}\cdot{\bf c}_k=\omega_k^2{\bf M}\cdot{\bf c}_k \end{eqnarray*}$$

donde $\{\omega_k\}$ son las raices del determinante $\hbox{det}({\bf A}-\omega^2{\bf M})$.

• Demostrar que el problema de autovalores generalizado ${\bf A}\cdot{\bf c}=\omega^2{\bf M}\cdot{\bf c}$ se puede escribir como el siguiente problema estándar de autovalores:
  
  $${\bf N}\cdot{\bf b}=\omega^2{\bf b}$$
  
  
  donde ${\bf N}={\bf M}^{-1/2}\cdot{\bf A}\cdot{\bf M}^{-1/2}$ y ${\bf b}= {\bf M}^{1/2}{\bf c}$
• Sea ${\bf R}$ la matriz de rotación que diagonaliza ${\bf M}$, con autovalores $\{m_k\}$. Demostrar que
  $$\begin{eqnarray*} {\bf M}^{1/2}={\bf R}^{-1}\left(\begin{array}{cccc}\sqrt{m_1}... ......&...&...&...\ 0&...&0&\sqrt{m_n} \end{array}\right){\bf R} \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  
  es una definición correcta para la raiz cuadrada de ${\bf M}$, y obtener ${\bf M}^{-1/2}$ de la misma manera (es decir, en términos de ${\bf R}$ y los autovalores $\{m_k\}$).
• Demostrar que el nuevo problema (estándar) de autovalores resulta del primero a base de: 1) diagonalizar la matriz ${\bf M}$, 2) dilatar o contraer los ejes de manera que los autovalores de ${\bf M}$ se conviertan todos en la unidad, y 3) diagonalizar la matriz ${\bf A}$. Este procedimiento, que es una manera alternativa de ver el anterior, basado en resolver directamente el sistema ${\bf A}\cdot{\bf c}=\omega^2{\bf M}\cdot{\bf c}$, permite diagonalizar las dos matrices, ${\bf M}$ y ${\bf A}$, a la vez.

Sea que la matriz ${\bf M}$ la descomponemos en producto de dos matrices iguales: ${\bf M}={\bf M}^{1/2}\cdot{\bf M}^{1/2}$. Luego veremos cómo definir la matriz ${\bf M}^{1/2}$. Entonces:

$${\bf A}\cdot{\bf c}=\omega^2{\bf M}\cdot{\bf c} =\omega^2{\bf M}^{1/2}\cdot{\bf M}^{1/2}\cdot{\bf c}$$

Multiplicando por la izquierda por ${\bf M}^{-1/2}$, la matriz inversa de ${\bf M}^{1/2}$,

$${\bf M}^{-1/2}{\bf A}\cdot{\bf c}=\omega^2{\bf M}^{-1/2}\cd... ...f M}^{1/2}\cdot{\bf c}=\omega^2\cdot{\bf M}^{1/2}\cdot{\bf c}$$

ya que ${\bf M}^{1/2}\cdot{\bf M}^{-1/2}={\bf M}^{-1/2}\cdot{\bf M}^{1/2}= {\bf 1}$. Definiendo ${\bf b}={\bf M}^{1/2}\cdot{\bf c}$, obtenemos

$${\bf M}^{-1/2}\cdot{\bf A}\cdot{\bf M}^{-1/2}\cdot {\bf b}... ... \rightarrow\hspace{0.4cm}{\bf N}\cdot{\bf b}=\omega^2{\bf b}$$

ya que ${\bf c}={\bf M}^{-1/2}\cdot{\bf b}$.

Sea ahora la definición sugerida para ${\bf M}^{1/2}$:

$${\bf M}^{1/2}={\bf R}^{-1}\left(\begin{array}{cccc}\sqrt{m_1}&0&.... ...t{m_2}&...&0\ ...&...&...&...\ 0&...&0&\sqrt{m_n} \end{array}\right){\bf R}$$ (1)

donde la matriz de transformación ${\bf R}$ es tal que

$$\begin{eqnarray*} {\bf R}\cdot{\bf M}\cdot{\bf R}^{-1}= \left(\begin{array}{cc... ......&...&...&...\ 0&...&0&{m_n} \end{array}\right)\cdot{\bf R} \end{eqnarray*}$$

Comprobemos que ${\bf M}^{1/2}\cdot{\bf M}^{1/2}={\bf M}$. Teniendo en cuenta que ${\bf R}\cdot{\bf R}^{-1}={\bf R}^{-1} \cdot{\bf R}={\bf 1}$:

$$\begin{eqnarray*} {\bf M}^{1/2}\cdot{\bf M}^{1/2}&=& {\bf R}^{-1}\cdot\left(\b... ......&...\ 0&...&0&{m_n} \end{array}\right)\cdot{\bf R}={\bf M} \end{eqnarray*}$$

Obtengamos ahora la matriz inversa ${\bf M}^{-1/2}$. A partir de la ecn. (1), efectuamos las siguientes operaciones:

• Multiplicamos por la izquierda por ${\bf M}^{-1/2}$:
  $$\begin{eqnarray*} {\bf M}^{-1/2}\cdot{\bf M}^{1/2}= {\bf M}^{-1/2}\cdot {\bf ... .....&...&...\ 0&...&0&\sqrt{m_n} \end{array}\right)\cdot{\bf R} \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  

• Hacemos ${\bf M}^{-1/2}\cdot{\bf M}^{1/2}={\bf 1}$, multiplicamos por la derecha por ${\bf R}^{-1}$ y hacemos ${\bf R}\cdot{\bf R}^{-1}={\bf 1}$:
  $$\begin{eqnarray*} {\bf R}^{-1}= {\bf M}^{-1/2}\cdot {\bf R}^{-1}\cdot\left(\b... .....&0\ ...&...&...&...\ 0&...&0&\sqrt{m_n} \end{array}\right) \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  

• Multiplicamos por la derecha por la inversa de la matriz diagonal:
  $$\begin{eqnarray*} &&{\bf R}^{-1}\cdot \left(\begin{array}{cccc}1/\sqrt{m_1}&0&... ... \end{array}\right)\ &&\ &&={\bf M}^{-1/2}\cdot {\bf R}^{-1} \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  

• Multiplicamos por la derecha por ${\bf R}$:
  $$\begin{eqnarray*} {\bf M}^{-1/2}={\bf R}^{-1}\cdot \left(\begin{array}{cccc}1/... ...&...&...\ 0&...&0&1/\sqrt{m_n} \end{array}\right)\cdot{\bf R} \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  

Según el primer apartado, el problema de diagonalización se puede escribir como:

$$\begin{eqnarray*} \left({\bf M}^{-1/2}\cdot{\bf A}\cdot{\bf M}^{-1/2}\right)\cd... ...{\bf c}\right)=\omega^2\left({\bf M}^{1/2}\cdot {\bf c}\right) \end{eqnarray*}$$

Sustituyendo ahora ${\bf M}^{-1/2}={\bf R}^{-1}\cdot {\bf M}_d^{-1/2}\cdot{\bf R}$ (donde ${\bf M}_d^{-1/2}$ es la matriz diagonal de ${\bf M}^{-1/2}$) y ${\bf M}^{1/2}={\bf R}^{-1}\cdot {\bf M}_d^{1/2}\cdot{\bf R}$ (donde ${\bf M}_d^{1/2}$ es la matriz diagonal de ${\bf M}^{1/2}$) tenemos:

$$\begin{eqnarray*} &&{\bf R}^{-1}\cdot{\bf M}_d^{-1/2}\cdot{\bf R} \cdot{\bf A}... ...ega^2{\bf R}^{-1}\cdot {\bf M}_d^{1/2}\cdot{\bf R}\cdot{\bf c} \end{eqnarray*}$$

Multiplicando por la izquierda por la matriz ${\bf R}$, teniendo en cuenta que ${\bf R}\cdot{\bf R}^{-1}={\bf 1}$, y agrupando convenientemente las matrices, nos queda:

$$\begin{eqnarray*} \left[{\bf M}_d^{-1/2}\cdot\left({\bf R} \cdot{\bf A}\cdot{\... ...eft[{\bf M}_d^{1/2}\cdot\left({\bf R}\cdot{\bf c}\right)\right] \end{eqnarray*}$$

que se puede interpretar como sigue. Primero actúa la matriz ${\bf R}$ sobre la matriz ${\bf A}$ y el vector ${\bf c}$ (paréntesis), acción que sirve para diagonalizar la matriz ${\bf M}$. Luego actúa la matriz ${\bf M}_d^{1/2}$ sobre la matriz ${\bf A}$ transformada y el vector ${\bf c}$ transformado (corchetes), que convierte a la matriz ${\bf M}$ en la matriz unidad. Con estas transformaciones, el problema se reduce al último paso, diagonalizar la matriz ${\bf A}$ transformada mediante las dos transformaciones previas.