Tres péndulos acoplados

Considerar tres péndulos idénticos, de longitud $l$ y masa $M$, suspendidos de un soporte, no completamente rígido, que es capaz de transmitir energía de un péndulo a otro, de manera que la energía potencial es

$$U=\frac{1}{2}mgl(\theta_1^2+\theta_2^2+\theta_3^2-2\epsilon... ...\epsilon_{13}\theta_1\theta_3-2\epsilon_{23}\theta_2\theta_3)$$

Obtener las frecuencias propias (se obtiene un polinomio de grado cúbico, cuyas soluciones son reales; no hace falta calcularlas explícitamente, pero al menos argumentar por qué han de ser reales. Ayudarse si es posible del ordenador). Suponiendo que $\epsilon_{12}= \epsilon_{13}=\epsilon_{23}$, demostrar que hay degeneración en este caso, y que éste es el único caso en el que puede haberla. Obtener en este caso los modos normales de vibración.

Escojemos como coordenadas generalizadas los ángulos con respecto a la vertical. La energía cinética es

$$T=\frac{1}{2}Ml^2\left[\left(\frac{d\theta_1}{dt}\right)^2+... ..._2}{dt}\right)^2+ \left(\frac{d\theta_3}{dt}\right)^2\right]$$

de manera que las matrices A y m son:

$$\begin{eqnarray*} \hbox{\bf A}=\left(\begin{array}{ccc}Mgl&-Mgl\epsilon_{12}&-M... ...n{array}{ccc}Ml^2&0&0\\ 0&Ml^2&0\ 0&0&Ml^2\end{array}\right) \end{eqnarray*}$$

Las frecuencias propias se obtienen de:

$$\begin{eqnarray*} &&\left\vert\begin{array}{ccc}Mgl-M\omega^2l^2& -Mgl\epsilon... ...\omega^2l)(\epsilon_{13}^2 +\epsilon_{12}^2+\epsilon_{23}^2)=0 \end{eqnarray*}$$

Para ver mejor la estructura de esta ecuación, hagamos $\eta\equiv g-\omega^2l$, con lo que obtenemos una ecuación cúbica en $\eta$:

$$\eta^3-g^2(\epsilon_{13}^2+\epsilon_{12}^2+\epsilon_{23}^2)\eta -2g^3\epsilon_{12}\epsilon_{23}\epsilon_{13}=0$$

Para facilitar los cálculos hagamos $\eta\equiv\alpha g$, con lo que la ecuación queda

$$f(\alpha)\equiv\alpha^3-(\epsilon_{13}^2+\epsilon_{12}^2+\e... ...on_{23}^2)\alpha -2\epsilon_{12}\epsilon_{23}\epsilon_{13}=0$$

Las tres soluciones de esta ecuación se pueden obtener analíticamente por medio de las conocidas fórmulas para un polinomio cúbico sin término cuadrático. Las raices físicamente admisibles de esta ecuación cúbica han de ser reales, y se puede demostrar en este caso particular que es así. Para ello, en lugar de utilizar las expresiones para las soluciones explícitas de una ecuación cúbica, vamos a demostrar las siguientes condiciones, que aseguran que existen tres raices reales:

• El polinomio tiende a $-\infty$ para $\alpha\rightarrow -\infty$ y a $+\infty$ para $\alpha\rightarrow +\infty$, lo cual se sigue del hecho de que el coeficiente del término de mayor grado es positivo.
• El polinomio posee dos extremos, un máximo y un mínimo. Derivando:
  
  $$f^{\prime}(\alpha)=3\alpha^2-(\epsilon_{13}^2+\epsilon_{12}^2+\epsilon_{23}^2)=0$$
  
  
  es decir, existen dos extremos, simétricamente situados con respecto al origen:
  
  $$\alpha_{\pm}=\pm\sqrt{\frac{\epsilon_{13}^2+\epsilon_{12}^2+\epsilon_{23}^2}{3}}$$
  
  

• Calculando la derivada segunda, $f^{\prime\prime}(\alpha)=6\alpha$, vemos que $f^{\prime\prime}(\alpha_+)>0$ y $f^{\prime\prime}(\alpha_-)<0$, o sea, el extremo negativo, $\alpha_-$, es un máximo, mientras que el extremo positivo, $\alpha_+$, es un mínimo.
• Además, los valores de la función en los extremos han de ser positivo en el máximo y negativo en el mínimo,
  

  $$f(\alpha_+)= \left(\frac{\epsilon_{13}^2+\epsilon_{12}^2+\epsilon... ...}^2+\epsilon_{23}^2)^{3/2}}{\sqrt{3}} -2\epsilon_{12}\epsilon_{23}\epsilon_{13}$$

  $$\hspace{2cm} =-\frac{2}{3\sqrt{3}}(\epsilon_{13}^2+\epsilon_{12}^2+\epsilon_{23}^2)^{3/2} -2\epsilon_{12}\epsilon_{23}\epsilon_{13}<0,$$

  $$f(\alpha_-)= -\left(\frac{\epsilon_{13}^2+\epsilon_{12}^2+\epsilo... ...}^2+\epsilon_{23}^2)^{3/2}}{\sqrt{3}} -2\epsilon_{12}\epsilon_{23}\epsilon_{13}$$

  $$\hspace{2cm} =\frac{2}{3\sqrt{3}}(\epsilon_{13}^2+\epsilon_{12}^2+\epsilon_{23}^2)^{3/2} -2\epsilon_{12}\epsilon_{23}\epsilon_{13}\ge 0$$ (2)

  
  

La primera de las desigualdades es evidente dado que las constantes de acoplo son todas positivas. La última desigualdad se puede demostrar para cualesquiera tres números positivos. En efecto, si tenemos tres números arbitrarios $x>0, y>0, z>0$, definamos la función

$$\begin{eqnarray*} g(x,y,z)\equiv (x^2+y^2+z^2)^3-27x^2y^2z^2,\hspace{0.4cm}x,y,z>0 \end{eqnarray*}$$

definición inspirada en la desigualdad que queremos demostrar (simplificando un factor 2 y elevando al cuadrado). Demostremos que esta función posee un extremo, y que ese extremo es además un mínimo. Las componentes del vector gradiente son:

$$\begin{eqnarray*} &&\frac{\partial g}{\partial x}=6x(x^2+y^2+z^2)^2-54 xy^2z^2=... ...\frac{\partial g}{\partial z}=6z(x^2+y^2+z^2)^2-54 x^2y^2z=0\\ \end{eqnarray*}$$

de donde se obtienen las ecuaciones

$$(x^2+y^2+z^2)^2=9x^2y^2=9x^2z^2=9y^2z^2$$

que únicamente se verifican si $x=y=z$. Estas igualdades definen un continuo de puntos extremos. Para ver qué tipo de extremos son, calculamos la matriz hessiana evaluada en $x=y=z$, que es igual a

$$\begin{eqnarray*} \partial^2g= \left(\begin{array}{ccc} 72x^4&-36x^4&-36x^4\\... ...array}{ccc} 2&-1&-1\ -1&2&-1\ -1&-1&2\\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$$

Como todos los menores de esta matriz son no negativos,

$$\begin{eqnarray*} 2>0,\hspace{0.4cm}\left\vert\begin{array}{cc}2&-1\ -1&2\end{... ...rray}{ccc} 2&-1&-1\ -1&2&-1\ -1&-1&2\end{array}\right\vert=0 \end{eqnarray*}$$

concluimos que la recta $x=y=z$ es un continuo de mínimos y que la función $g(x,y,z)$ nunca se hace negativa, siendo igual a cero únicamente cuando $x=y=z$. Por tanto, la desigualdad () es cierta, verificandose la igualdad cuando $\epsilon_{12}= \epsilon_{13}=\epsilon_{23}$, lo cual implica que $f^{\prime}(\alpha_-)=0$ y $f^{\prime\prime}(\alpha_-)=0$, es decir, $\alpha_-$ es una raiz doble y, por tanto, existe degeneración. Para este caso la ecuación que da las frecuencias propias se convierte en

$$\eta^3-3g^2\epsilon^2\eta-2g^3\epsilon^3=0$$

que tiene una raiz doble $\eta_1^0=-g\epsilon$ y una simple $\eta_2^0= 2g\epsilon$. La situación se resume esquemáticamente en la figura: a la izquierda se tiene una situación no degenerada, con dos de las constantes de acoplo $\epsilon_{12}, \epsilon_{13}, \epsilon_{23}$ iguales a 1 y la otra igual a 1,8; a la derecha se presenta una situación con degeneración, con todas las constantes de acoplo iguales a la unidad. En resumen, la única manera de que exista degeneración (y este caso corresponde a que una de las frecuencias propias sea doble) es que las tres constantes de acoplo sean iguales. En cualquier otro caso las frecuencias propias son distintas.