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Momentos principales de inercia de un elipsoide de revolución

Calcular los momentos principales de inercia de un elipsoide de densidad uniforme $\rho$ y masa $M$ con longitud de ejes $2a=2b>2c$ tomando como origen su centro de masas.

Escojamos como ejes aquellos que van a lo largo de los ejes del elipsoide, siendo por ejemplo el eje $x$ el asociado a la longitud $a$, el $y$ a la $b=a$ y el $z$ a la $c$. La ecuación del elipsoide es entonces

\begin{displaymath}\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\end{displaymath}


Calculemos primero los elementos diagonales del tensor de inercia:

\begin{eqnarray*}&&I_{11}=\rho_0\int_V d{\bf r} (y^2+z^2)=\rho_0\int_{-a}^a dx......}{3}\left(1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}\right)^{3/2}\right]\end{eqnarray*}
Ahora,
\begin{displaymath}\int_{0}^{\sqrt{a^2-x^2}} dyy^2\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}}=\frac{\pi a^3}{16}\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)^2\end{displaymath}


y

\begin{displaymath}\frac{c^2}{3}\int_{0}^{\sqrt{a^2-x^2}} dy\left(1-\frac{x^2......ht)^{3/2}=\frac{\pi ac^2}{16}\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)^2\end{displaymath}


luego

\begin{eqnarray*}&&I_{11}=\frac{\pi\rho_0}{2}ac (a^2+c^2)\int_0^adx\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)^2=\frac{4\pi\rho_0}{15}a^2c(a^2+c^2)\end{eqnarray*}

 Es evidente que, por simetría, vamos a tener
\begin{displaymath}I_{22}=\frac{4\pi\rho_0}{15}a^2c(a^2+c^2),\hspace{0.4cm}I_{33}=\frac{4\pi\rho_0}{15}2a^4c\end{displaymath}


Veamos los elementos no diagonales:

\begin{eqnarray*}&&I_{12}=-\rho_0\int_V d{\bf r} xy=-\rho_0\int_{-a}^a dx\int_......-c\sqrt{1-x^2/a^2-y^2/a^2}}^{+c\sqrt{1-x^2/a^2-y^2/a^2}} dzxy=0\end{eqnarray*}
ya que el integrando es una función impar en $x$ y en $y$, con lo cual la integral se anula al ser los límites simétricos alrededor de cero. Lo mismo ocurre para el resto de elementos diagonales. Concluimos que los ejes principales van a lo largo de los ejes del elipsoide, y que los momentos principales de inercia son:
\begin{displaymath}I_{1}=\frac{4\pi\rho_0}{15}a^2c(a^2+c^2),\hspace{0.4cm}I_{2......}a^2c(a^2+c^2),\hspace{0.4cm}I_{3}=\frac{4\pi\rho_0}{15}2a^4c\end{displaymath}


En términos de la masa $M$, y teniendo en cuenta que, para un elipsoide de revolución
 

\begin{displaymath}M=\frac{4\pi\rho_0}{3}a^2c\end{displaymath}


tenemos

\begin{displaymath}I_{1}=\frac{M}{5}(a^2+c^2),\hspace{0.4cm}I_{2}=I_1=\frac{M}{5}(a^2+c^2),\hspace{0.4cm}I_{3}=\frac{2M}{5}a^2\end{displaymath}


Como era de esperar, los momentos asociados a los ejes 1 y 2 son iguales: por tanto, el elipsoide de revolución es un trompo simétrico.


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Enrique Velasco 2003-01-16