Teoría
de la Integral y de la Medida (Curso 2009-10)
3º
de Matemáticas
(asignatura troncal, 8 créditos; código: 14446)
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PROFESORES |
HORARIOS |
AULA |
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Gustavo Garrigós (despacho C-XV 308) |
Grupo 31: L-J 9:30 |
405 (módulo 16, antiguo C-XIII) |
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Alberto Ruiz (despacho C-XV 402) |
Grupo 36: L-J 15:30 |
405 (módulo 16, antiguo C-XIII) |
1. PROGRAMA
Objetivos: Desarrollo detallado
de la teoría de la integral de Lebesgue, tanto en Rn como en espacios de
medida generales. Se persigue que el alumno conozca la construcción de la
integral de Lebesgue, y domine las nuevas
herramientas que ésta introduce, en especial los teoremas de convergencia, los
de Fubini y del cambio de variable y el teorema de Radon-Nikodym, todos ellos básicos en el desarrollo moderno
de las ecuaciones en derivadas parciales y la teoría de probabilidad, entre
otros.
1. Introducción
La
integral hasta 1900. La integral de Riemann. El
problema de medir conjuntos. Integral y derivada: el teorema fundamental del
cálculo.
2. Teoría general de la
integral de Lebesgue
σ-álgebras
y medidas en conjuntos generales. Funciones medibles, funciones simples e
integral respecto de una medida. Teoremas de convergencia monótona y dominada,
lema de Fatou; algunas aplicaciones.
3. Construcción de medidas
Medidas
exteriores y conjuntos medibles. Teoremas de Carathéodory.
Construcción de la medida de Lebesgue en R. Otros ejemplos: medidas de Lebesgue-Stieltjes, medidas contadoras, espacios de
probabilidad...
4. Producto de medidas
Construcción
de la medida producto. La medida de Lebesgue en Rn y sus simetrías. Medidas inducidas y el
teorema del cambio de variable.
5. El teorema de Fubini
Integración
iterada, teoremas de Fubini y Tonelli.
Ejemplos y aplicaciones.
6. Medidas y derivadas
El teorema
de diferenciación de Lebesgue. Funciones absolutamente
continuas y de variación acotada: el teorema fundamental del cálculo para la
teoría de Lebesgue. Medidas con signo: teoremas de
Hahn y de Radon-Nikodym.
2. BIBLIOGRAFÍA
Textos
recomendados:
H. S. Bear, A primer of Lebesgue integration, Academic Press, 1995.
J. Cerdà,
Análisis Real, Ed. Univ. de Barcelona, 1996.
G. De Barra, Measure Theory and Integration, John
Wiley, 1981.
M. De Guzmán y B. Rubio, Integración: Teoría y Técnicas,
Alhambra, 1979.
G. Folland, Real Analysis, Wiley Interscience
Series, 1992.
H. L. Royden, Real Analysis, Prentice Hall-Inc, 1988.
E. Stein y R. Shakarchi, “Real Analysis”. Princeton University Press,
2004.
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PROFESOR |
HORARIOS |
DESPACHO |
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Gustavo Garrigós |
Martes 15:30-18:30 (o por cita previa) |
C-XV 308 |
Para consultas breves, podéis escribir a:
gustavo.garrigos ‘at’ uam.es
4.
EVALUACIÓN
Fecha
y lugar de los exámenes fijada por
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EXAMEN |
Fecha |
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CONVOCATORIA DE FEBRERO |
Lunes,
8 de febrero de 2010 (mañana) |
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CONVOCATORIA DE SEPTIEMBRE |
Viernes,
10 de septiembre de 2010 (mañana) |
Calificación final: La calificación final de febrero se obtendrá
de la fórmula
máx{ EF, 0´7EF + 0´3CI}
donde EF=nota
examen final, CI= nota media de controles intermedios.
Adicionalmente, se valorará para la nota
final de febrero la participación en clase mediante resolución de ejercicios en
la pizarra.
Fecha primer control intermedio:
jueves 5 de noviembre.
Soluciones control 1 grupo mañana. Notas control 1.
Soluciones control 2 grupo
mañana. Notas control 2.
Soluciones examen febrero. Calificaciones finales.
Soluciones examen
septiembre.
Calificaciones.
Revisión:
martes
14
septiembre
2010 a las 16:00,
en aula 102 de
Matemáticas (módulo 17).
Los alumnos que se deseen acudir
a la revisión deberán comunicármelo
por email al menos
1 hora antes del comienzo de la revisión.
5. EJERCICIOS
Las hojas de
problemas pueden visualizarse con el programa Acrobat Reader.
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HOJAS DE EJERCICIOS |
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Introducción, σ-álgebras |
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Medidas, límites de conjuntos |
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Funciones medibles |
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Integración y teoremas de convergencia |
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Medidas exteriores |
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Medidas de Lebesgue-Stieltjes |
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Medidas producto y teorema de Fubini |
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Medidas inducidas y cambio de variable |
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Medidas con signo, teorema de Radon-Nykodim |
6. ENLACES
RELACIONADOS CON EL CURSO
APUNTES Y EJERCICIOS
EN LA RED
· Páginas de cursos anteriores:
§ 2008/09 Fernando Soria
§
2006/07
José García-Cuerva
· Breve resumen sobre teoría de la medida: J. Hunter (U. California, Davis)
· Apuntes sobre teoría de la medida: R. Bass (U. Connecticut)
· Apuntes y ejercicios resueltos sobre integración y medida: R. Faro (Universidad de Extremadura)
· Más apuntes con ejercicios resueltos Darío Sánchez H (Bogotá)
· Apuntes varios relacionados con Matemáticas
OTROS RESULTADOS RELACIONADOS CON EL CURSO
· Sobre la paradoja de Banach-Tarski (C. Ivorra).
Última
modificación: 11 de septiembre de 2010.