Termodinámica de disoluciones de macromoléculas
(2º coeficiente del virial)
Tipos de macromoléculas inicio
Las macromoléculas son substancias cuyas moléculas
poseen una elevada masa molecular, y están constituidas por la repetición de
algún tipo de subunidad estructural. Pueden ser lineales o ramificadas.
Para una Introducción sobre Macromoléculas, ver:
-FISICOQUÍMICA (4ª Edición en castellano) Ira N.
Levine (1996) McGraw-Hill. Páginas 934-935
-QUÍMICA FÍSICA Díaz Peña y Roig. Alhambra.
Páginas 1351-1353.
Tradicionalmente, las macromoléculas se clasifican
en síntéticas (polímeros sintéticos), y naturales. Las primeras se pueden
clasificar en lineales ó ramificadas. Una buena descripción de los distintos
tipos de polímeros sintéticos, con un buen número de ejemplos se puede
encontrar en:
-QUÍMICA FÍSICA Díaz Peña y Roig. Alhambra. Páginas 1353-1357.
También se pueden encontrar ejemplos, incluyendo algunos polielectrolitos y
polímeros inorgánicos como polifosfatos, polisilicatos, y siliconas en:
-PHYSICAL
CHEMISTRY OF MACROMOLECULES. Charles Tanford (1961) Wiley and Sons. Páginas 2-6, 13
Las macromoléculas naturales son las proteínas, los ácidos nucleicos, y los
polisacáridos. Cualquier libro de texto moderno de Bioquímica se puede
consultar para familiarizarse con las características estructurales de estas
macromoléculas. Por ejemplo
-BIOQUÍMICA (2ª Edición) Mathews y Van Holde (1998) McGraw Hill. Páginas
95-96, 104-109, 179-202, 329-330.
Estructura de
macromoléculas inicio
Como se ha mencionado antes, las macromoléculas
están constituidas por la repetición de algún tipo de subunidad estructural.
Tradicionalmente se habla de cuatro niveles de estructura en una macromolécula:
La estrctura primaria: es la secuencia de subunidades ( ó monómeros )
que la forman.
La estructura secundaria: hace referencia a la configuración que adquiere
la cadena principal de la macromolécula. Los ejemplos más característicos se
encuentran en proteínas y ácidos nucleicos, por ejemplo la estructura de
a-hélice que adoptan muchas cadenas polipeptídicas, las láminas b, ó el plegamiento practicamente aleatorio al que se hace referencia con el
término ovillo al azar, “random-coil”, ó polímero flexible.
La estructura terciaria es el plegamiento general que adquiere la
macromolécula en el espacio.
La estructura cuaternaria hace referencia a la posible asociación de más de
una molécula del polímero para formar agregados oligoméricos (dímeros,
octámeros, etc.).
Los métodos experimentales utilizados en la determinación
estructural de macromoléculas no son diferentes de los que se usan en la
determinación estructural de moléculas “pequeñas”, y su descripción queda fuera
del alcance de esta asignatura: Todos los métodos espectroscópicos, incluyendo
el Infrarrojo, UV-visible, dicroismo circular, fluorescencia, resonancia de
spín electrónico, y la resonancia magnética nuclear se vienen utilizando desde
hace décadas en la elucidación de la estructura de macromoléculas.
Especialmente importante ha sido, y lo es actualmente la difracción de Rayos X,
y en los últimos años ha adquirido especial relevancia la resonancia magnética
nuclear, y los métodos derivados de la microscopía electrónica, de efecto
túnel, y de fuerzas.
A modo de resumen muy general, podemos decir que
desde un punto de vista estructural existen dos tipos de macromoléculas:
Aquellas que en disolución no adoptan una conformación definida, y que en
estado sólido forman sólidos amorfos, ó sólo parcialmente cristalinos; y
aquellas que adoptan configuraciones concretas (a-hélices, láminas b, etc.,), perfectamente definidas, y consecuencia de fuerzas
intramoleculares específicas. Al primer tipo pertenecen la mayor parte de los
polímeros sintéticos, mientras que las macromoléculas naturales en estado nativa
suelen pertenecer al segundo. Una característica de estas últimas es que son
susceptibles de desnaturalización en el laboratorio, convirtiéndose
generalmente en macromoléculas del primer tipo, carentes de estructura
definida.
En lo que se refiere a los pesos moleculares, los
polímeros sintéticos son generalmente polidispersos, mientras que en el caso de
macromoléculas naturales existen las monodispersas como las proteínas, y
polidispersas como los ácidos nucleicos y polisacáridos.
Valores medios inicio
La polidispersidad, y la ausencia en muchas
ocasiones de estructuras tridimensionales bien definidas obligan a introducir
en el estudio de macromoléculas parámetros de carácter estadístico como son las
masas moleculares medias, y otros
parámetros relacionados con la forma y el tamaño.
Masa molecular promedio en número: <Mn> = S Ni Mi / S Ni = S Xi Mi
Ni = número de moles ó moléculas con masa
molecular Mi
Xi = fracción molar de especies con masa molecular
Mi
Masa
molecular promedio en peso: <Mw> = S gi Mi / S gi = S wi Mi
gi = masa de material con masa molecular Mi
wi = fracción en peso de especies con masa
molecular Mi
Resulta fácil comprobar que <Mw> = S Ni Mi2 / S Ni Mi (basta con tener en cuenta que gi = Mi Ni / NA, donde NA
es el número de Avogadro)
Existe otro promedio, el promedio viscoso,
relacionado con las medidas de viscosidad.
El cociente <Mw> / <Mn> se
conoce como índice de heterogeneidad ó polidispersidad. Resulta fácil comprobar
que este índice será igual a 1 cuando la muestra sea monodispersa.
Bibliografía:
-QUÍMICA FÍSICA Díaz Peña y Roig. Alhambra. Páginas 1366-1367.
-PHYSICAL CHEMISTRY, (6ª Edición en
inglés) P.W. Atkins (1998) Oxford University Press, pp 680-682.
-PHYSICAL CHEMISTRY OF
MACROMOLECULES. Charles Tanford (1961) Wiley and Sons. Páginas 145-150.
-FISICOQUÍMICA (4ª Edición en castellano) Ira
N. Levine (1996) McGraw-Hill. Página 346 y 529.
Una magnífica descripción en profundidad de los parámetros
moleculares medios relacionados con la forma y el tamaño: "random
coil", distancia extremo-extremo y radio de giro medio, se
puede encontrar en:
-PHYSICAL CHEMISTRY OF
MACROMOLECULES. Charles Tanford (1961) Wiley and Sons. Páginas 139-179.
Lo que sigue es un breve guión extraido de esta
última referencia:
Para el caso de polímeros sintéticos y
macromoléculas naturales desnaturalizadas, consistentes en general en moléculas
carentes de estructura específica, se puede decir que las fuerzas intramoleculares
son muy débiles. Como consecuencia existirán muchas configuraciones (ó
conformaciones) posibles para la molécula, que posean la misma energía, y que
por consiguiente son igualmente probables. La situación se presta a definir
parámetros relativos al tamaño y estructura, de carácter estadístico:
distancia media extremo-extremo, y radio de giro medio
Estas magnitudes se pueden calcular
teoricamente para un modelo teórico: el “random coil” ó cadena
aleatoria, también denominado ovillo estadístico. El modelo se construye
teóricamente utilizando “monómeros” teóricos, o eslabones de la cadena, que
podrían ser de una longitud equivalente al enlace, ó molécula que se repite
para construir la macromolécula. Cada eslabón se une al anterior adoptando una
orientación al azar, salvo por las restricciones impuestas por los enlaces
químicos. El resultado final es un ovillo aleatorio, ó “random coil”
La distancia media extremo-extremo se define como la raiz cuadrada de la
media de los cuadrados de las distancias extremo-extremo (marcada en la figura
con una linea discontinua para una configuración particular): <h> = (
<h2> ) 1/2
El radio de giro medio = RG =
( <R2> )1/2, siendo R = S mi ri2 / Smi, donde mi es cada elemento de masa separado a
una distancia ri del centro de masas de la molécula.
Los resultados teóricos del tratamiento
estadístico del “random coil” resultan en fórmulas que nos dan la distancia
media extremo-extremo y el radio de giro medio. Para la distancia se
obtiene <h> = cte Ma. Donde cte es una constante que depende de la
longitud del “monómero” utilizado en la construcción teórica, de los ángulos de
enlace que se hallan permitido, y del tipo de interacciones que existan con el
disolvente, y a es una constante que oscila entre 0.6 y 1, dependiendo de la
“flexibilidad” admitida para el polímero. Ambas constante se pueden medir
experimentalmente, sobre todo a partir de medidas de viscosidad, de forma que
se pueden contrastar siempre los resultados teóricos con las medidas
experimentales. Una fórmula explicita relaciona la distancia media
extremo-extremo y el radio de giro medio: RG = <h2>
/ 6.
Termodinámica de disoluciones de macromoléculas inicio
Cuando
se mezclan dos líquidos el volumen final no es, en general, igual a la suma de
los volúmenes de los líquidos componentes. Unas veces observamos contracción de
volumen, y otras aumento. Si seguimos observando llegaremos también a concluir que
el aumento ó disminución de volumen de mezcla es función de la composición
final de la misma. Este tipo de observaciones permite llegar a la
generalización siguiente: el volumen molar (ó el específico) de cualquier
substancia es función de la composición ("composición" aquí debe
entenderse en su doble sentido: los componentes que acompañan a la substancia,
y su concentración). Este volumen molar cuyo valor resulta ser función de la
composición es lo que llamamos volumen molar parcial. Por ejemplo, el volumen
molar del agua pura es 18 cm3 / mol, pero en una mezcla con etanol
al 60% en peso de agua, el valor del volumen molar parcial es 17.6 cm3
/ mol, y si cambiásemos la composición, el valor de este volumen molar parcial
cambiaría también
Lo
dicho arriba para el volumen se puede extender a cualquier propiedad extensiva.
Un caso particularmente interesante para los químicos es la energía libre de
Gibss, G. La energía libre molar parcial de cualquier substancia i -lo que se
conoce como potencial químico, mi- tiene
el mismo tipo de comportamiento que el volumen. Es decir, el valor de mi de cualquier substancia es
función de la composición. Estas observaciones conducen a que tenga un sentido
práctico las definición de propiedad molar parcial como:
Xi = ( d X / dni )p,T,nj
la
variación de la propiedad X con el número de moles de i, manteniendo constante
las demás propiedades que puedan afectar a la definición del sistema: dos
propiedades intensivas como p y T y la composición, nj, que no
afecta a i.
Considerando que una reacción química en un
tubo de ensayo, a p y T constantes, se puede considerar como un cambio de
composición de un sistema en el sentido de disminuir su contenido de energía
libre, sería muy útil disponer de una fórmula que nos diese esa dependencia de mi con la
composición, de forma explícita. El problema es que la Termodinámica no
suministra esa fórmula, y la solución es que nos la inventamos.
La
fórmula que nos inventamos define un modelo físico: la disolución ideal.
Decimos que una disolución es ideal cuando el potencial químico, mi , de cada uno de los
componentes viene dado por:
mi =miº + RT Ln xi [1]
En esta
expresión miº es
una constante independiente de la composición, y por tanto, en una disolución
ideal, el potencial químico de cada componente es una función lineal [1] del
logaritmo de su fracción molar, xi .
A
partir de esta definición es fácil demostrar que en una disolución ideal los
volúmenes molares parciales y las entalpías molares parciales son iguales a sus
respectivos valores molares. Dicho con otras palabras, en una disolución ideal
no hay volumen de mezcla, ni tampoco calor de mezcla. Por ejemplo, si el agua y
el etanol formasen una disolución ideal, el volumen molar del agua sería
siempre 18 cm3 / mol, independientemente de la cantidad de etanol
que le añadiésemos.
Existen
muy pocas disoluciones cuyo comportamiento se ajuste a la definición [1]. Sin
embargo, existen muchas disoluciones muy diluidas en todos los componentes,
menos uno -al que se denomina generalmente disolvente-, que sí cumplen dicha
ecuación de forma bastante aproximada. Son las disoluciones diluidas ideales.
En estas disoluciones los volúmenes molares parciales y las entalpías molares
parciales son diferentes en general, de los respectivos valores molares. Sin
embargo lo que si se cumple en estas disoluciones es que los valores de volumen
y entalpía molar parcial son independientes de la concentración en el mismo
intervalo de disolución diluida en el que se cumple la ecuación [1].
Para
este tipo de disoluciones se usa a veces el siguiente tratamiento del potencial
químico:
Considerando
al disolvente con el subíndice 1, y una disolución con un solo soluto con
fracción molar x2, para simplificar las expresiones:
m1 = mi º + RT Ln x1 = m1 + RT Ln (1- x2)
y
teniendo en cuenta que la disolución es diluida, y por tanto x2
tiende a cero, podemos desarrollar el logaritmo en serie:
m1 - m1º = RT
Ln ( 1- x2 ) = -RT (x2 + 1/2 x22 +
… )
Esta
última exprsión se puede transformar cambiando la fracción molar por la
molaridad como forma de expresar la concentración del soluto 2. Para hacerlo,
hay que hacer un par de aproximaciones, a saber: el volumen de la disolución es
igual al volumen contribuido por el disolvente, y el número de moles totales es
igual al número de moles del disolvente. Bajo estas dos aproximaciones, la
fracción molar resulta proporcional a la concentración en molar, C2,
o en masa por unidad de volumen, c2:
x2
@ C2 Vº1 = c2
Vº1 / M2
Finalmente,
la substitución en el desarrollo en serie nos suministra:
m1 - m1º = - RT Vº1 (
c2 / M2 + 1/2 Vº1 c22 /
M22 + … ) [2]
Esta
última ecuación nos define -de forma aproximada- una disolución diluida ideal,
en términos del potencial químico del disolvente, y la concentración del
soluto, c2. Resulta particularmente útil en el caso de
macromoléculas debido a que el alto peso molecular de las mismas contribuye a
que sus disoluciones sean diluidas.
El
tratamiento de las diversas formas de expresar la concentración, y su relación
entre ellas se puede encontrar en:
-PHYSICAL CHEMISTRY OF MACROMOLECULES. Charles Tanford (1961)
Wiley and Sons. Página 186.
-QUÍMICA
FÍSICA Díaz Peña y Roig. Alhambra. Páginas 857-859
Las
disoluciones reales se estudian de dos formas generales: introduciendo un
número, g2, que
multiplicado por x2, transforme la ecuación [1] de forma que se adapte a la
disolución real. Estos números se conocen como coeficientes de actividad; la
otra forma es utilizar una ecuación del virial, en la que el potencial
químico del disolvente se expresa como un desarrollo en serie de la
concentración del soluto, expresada en masa por unidad de volumen:
m1 - m1º = - RT Vº1 c2
(1 / M2+ B c2 + C c22 … )
Los coeficientes B, C, etc se conocen como
segundo, tercer coeficiente del virial, etc. La comparación con [2] lleva a que
en una disolución ideal, B = 1/2
Vº1 / M22. [3]
El
valor del segundo coeficiente del virial en una disolución ideal se puede
obtener a partir de la expresión anterior, conociendo el volumen molar del disolvente
y la masa molecular del soluto. Las elevadas masas moleculares de
macromoléculas, junto con el hecho de que aparecen elevadas al cuadrado
permiten predecir que el valor de B en una disolución ideal de
macromoléculas debe ser muy pequeño. Por ejemplo, para una macromolécula de M2
= 105 en disolución acuosa el valor de B sería:
B = 1/2 0.018 / 1010 = 9 10-13 l mol g-2
A
continuación veremos algunas técnicas que suministran valores de las masas
moleculares y del segundo coeficiente del virial de macromoléculas.
Presión Osmótica inicio
Supongamos que una disolución de una macromolécula
se separa físicamente del disolvente mediante una membrana semipermeable -una membrana
cuyos poros permiten el paso de pequeñas moléculas de disolvente, pero no el de
las más grandes moléculas del soluto macromolecular-. De acuerdo con la
ecuación [1] el potencial químico del disolvente será menor en la disolución
que en la fase donde se encuentra puro. El resultado es que el disolvente
tiende a pasar de la fase donde está puro a la disolución.
El proceso no debería acabar nunca puesto que el
potencial químico del disolvente siempre será menor en la fase de la
disolución. Sin embargo este trasvase de disolvente acabará produciendo un
aumento de presión en la fase de la disolución, y teniendo en cuenta la
relación:
(dm1 / dp)T = V1
al aumentar la presión se produce un aumento del
potencial químico del disolvente (ya que V1, el volumen molar del
mismo, es siempre una magnitud positiva). La presión osmótica de una disolución
es el exceso de presión que se ha de ejercer en la disolución con respecto al
disolvente, para, aumentando el potencial químico del mismo, contrarestar la
disminución provocada por el soluto y que es la causa del paso del disolvente
de la fase pura a la fase disolución.
Un tratamiento teórico correcto se puede encontrar
en:
-BIOQUÍMICA FÍSICA. K.E. van Holde (1979)
Exedra Páginas 46-52.
-PRINCIPLES OF PHYSICAL BIOCHEMISTRY
K.E. van Holde, W.C. Johnson, and P.S. Ho (1998) Prentice Hall. Páginas 540-543
La presión osmótica de una disolución de
macromoléculas viene dada por:
P / c2 = RT / M2 + BRTc2
+ ...
En esta expresión P es la presión osmótica en atm, c2 es
la concentración de macromolécula en mg/ml, R es la constante de los gases en
atm.litro mol-1 K-1, y B es el segundo coeficiente
del virial en litro mol g-2. Una representación gráfica de P / c2 frente a c2 nos debe
dar una recta, si la disolución no es muy concentrada. En cualquier caso se
puede extrapolar la representación resultante a una recta para los valores
bajos de c2, cuando los demás términos de la serie se hacen
despreciables. Del corte en ordenadas se puede ontener M2 ( que es
la masa molecular promedio en número ), y de la pendiente el valor del segundo
coeficiente del virial, B.
Ejemplos de valores obtenidos para B en
distintos ejemplos de disoluciones de macromoléculas se pueden encontrar en:
-PHYSICAL CHEMISTRY OF MACROMOLECULES. Charles Tanford (1961)
Wiley and Sons. Página 217 y 219.
De la
observación de stos valores se extren dos conclusiones fundamentales:
a) Los valores de B son
mucho más altos de lo que cabe esperar para una disolución diluida ideal de una
macromolécula (en el ejemplo anterior, B era del orden de 10-12 l mol g-2, mientras que los
valores que se obtienen son del orden de 105 veces mayores).
b) Los valores de B dependen
del disolvente.
A la vista de estas
conclusiones se podría decir que las disoluciones de macromoléculas tienen un
comportamiento muy alejado de la idealidad. Se puede profundizar en las causas
de este comportamiento si se atiende al estudio teórico de B. A
continuación trataremos de exponer brevemente las principales conclusiones.
Un tratamiento completo del
segundo coeficiente del virial, B, se puede encontrar en:
-PHYSICAL CHEMISTRY
OF MACROMOLECULES. Charles Tanford (1961) Wiley and Sons. Páginas
180-210.
-QUÍMICA FÍSICA Díaz Peña y
Roig. Alhambra. Páginas 1351-1353.
Cálculos teóricos
Resulta
posible hacer un cálculo teórico del segundo coeficiente del virial para una
disolución diluida ideal, es decir, una en la que los volúmenes de mezcla, y la
entalpía de mezcla son independientes de la concentración, en el intervalo de
concentraciones en el que la disolución se considera ideal. El resultado
teórico-estadístico es:
B = 1/2
( NA u / M22 ). [4]
En esta expresión NA es el número
de Avogadro, y u es el volumen excluido. El volumen excluido representa
de forma aproximada el volumen que al ser ocupado por una molécula, ya no es
accesible a las demás. Dado el tamaño de las macromoléculas el volumen excluido
es una magnitud significativa.
Resulta
interesante comparar las expresiones [3] y [4]. Si el volumen excluido fuese
del orden de magnitud del volumen de una molécula del disolvente, NA
u sería igual al volumen molar del disolvente, y las expresiones [3] y [4]
coincidirían, pero como el volumen que ocupa una macromolécula es mucho mayor
que el volumen de una molécula de disolvente, NA u será mucho mayor
que Vº1, y por tanto el valor del segundo coeficiente del virial, B,
será mucho mayor en una disolución de macromoléculas que en el modelo de
disolución ideal.
Se
puede hacer también un cálculo teórico del volumen excluido para polímeros
flexibles ( sin carga). El resultado es que el volumen excluido depende del
tipo de disolvente. En disolventes que se llaman “buenos”, las interacciones
macromolécula-disolvente están favorecidas, la macromolécula se extiende, y
entonces el volumen excluido aumenta, y también lo hará de acuerdo con [4] el
segundo coeficiente del virial, B. En disolventes que se llaman “pobres”, son
más favorables las interacciones intramacromoleculares, que las interacciones
macromolécula-disolvente. En estos casos, la macromolécula se contrae sobre sí
misma, el volumen excluido disminuye, y el segundo coeficiente del virial
disminuye también, aproximándose al valor de una disolución ideal. En el caso
de disolventes “pobres”, existe una temperatura para la cual u se hace cero, y
por tanto B también se anula. A esta temperatura se la conoce como Temperatura
q.
Sedimentación inicio
Aquí se expone un breve resumen del contenido.
Para una descripción más completa ver las dos referencias que se dan al final.
Ambas son suficientes y se complementan. Los procedimientos experimentales para
obtener r están mejor descritos en el "van Holde".
La velocidad de sedimentación de macromoléculas en
una ultracentrífuga viene dada por:
dr / dt = S r w2
[1]
En esta expresión r es la distancia del frente al
eje del rotor, w es la velocidad angular del rotor en radianes por unidad de
tiempo, y S es el coeficiente de sedimentación en unidades de tiempo. La
integración de la ecuación [1] da:
Ln r (t) - Ln r (to) = S w2
(t-to) [2]
y una representación gráfica de Ln r (t) - Ln r
(to) frente a (t-to) nos dará una recta
de cuya pendiente podemos obtener el valor del coeficiente de sedimentación, S.
El cociente del coeficiente de sedimentación entre el coeficiente de difusión
viene dado por:
S / D = M ( 1- rv ) / RT
de donde se puede calcular la masa molecular
promedio en número, conocidos el volumen específico del soluto, v, y la
densisdad de la disolución, r.
Bibliografía:
-PHYSICAL CHEMISTRY, (6ª Edición en inglés) P.W. Atkins (1998)
Oxford University Press, pp 686-688. (O la correspondiente versión en castellano)
-BIOQUÍMICA FÍSICA. K.E. van Holde (1979) Exedra Páginas
122-126.
Viscosidad
inicio
En el primer capítulo dedicado al transporte se
estudió la viscosidad: La ecuación de
Newton, unidades, y forma de medir. Las disoluciones de macromoléculas
presentan viscosidades muy diferentes a la viscosidad del disolvente. Siguiendo
el tratamiento de Einstein para la viscosidad de disoluciones (ver BIOQUÍMICA
FÍSICA. K.E. van Holde (1979) Exedra. Página 178):
hsp / c = n v + k v2
c + ...
[3]
En esta expresión n es un parámetro que depende de la forma de la
macromolécula; v es el volumen específico de la macromolécula, k es una constante,
y c es la concentración en unidades de masa por unidad de volumen. hsp es la viscosidad específica, que se define como:
hsp = h / ho - 1
donde h y
ho son las viscosidades de la disolución y el disolvente respectivamente.
Finalmente se define la viscosidad intrínseca
como:
[h] = lim hsp / c
c ® 0
y de acuerdo con [3]
[h] = n v
-Existen fórmulas para calcular n según la forma de la macromolécula ( ver páginas
335 y 391 de -PHYSICAL CHEMISTRY OF MACROMOLECULES. Charles Tanford (1961) Wiley and Sons. )
-v es el volumen específico de la macromolécula (
en cm3 / g ) y se puede expresar como v = NA vh
/ M, siendo vh el volumen hidrodinámico de una molécula (ver página
391 del Tanford).
A través de vh se puede relacionar la
viscosidad intrínseca, [h] con el radio de giro y la distancia media extremo-extremo. Por supuesto
también se puede relacionar esta viscosidad intrínseca con el peso molecular
Las medidas de viscosidad permiten obtener un promedio
de masa molecular, la masa molecular promedio viscoso:
<Mv> = [ S wi Mia ] 1/a
[4]
donde wi es la fracción en peso y a es una
constante.
La expresión que permite el cálculo de <Mv>
es la siguiente, válida para “random coils”:
[h] = K M a
En esta expresión a es la misma constante definida
en [4], y K es otra constante característica del polímero. En un disolvente
pobre a la temperatura q a es igual a 0.5; y en cualquier otro caso, a > 0.5.
Bibliografía:
Una descripción breve y con suficientes ejercicios
y ejemplos se puede encontrar en las últimas versiones del "Atkins",
por ejemplo:
-PHYSICAL CHEMISTRY, (6ª Edición en
inglés) P.W. Atkins (1998) Oxford University Press, pp 690-691.
Una descripción completa y exhaustiva del tema se
puede encontrar en:
- PHYSICAL CHEMISTRY OF MACROMOLECULES. Charles
Tanford (1961) Wiley and Sons.