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I.5. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
 

En el ejemplo que hemos visto en la sección anterior hemos podido comprobar que un subconjunto de un sistema de generadores de cierto subespacio vectorial W, no siempre genera W. Ante esta cuestión nos planteábamos
¿cuál será el número mínimo de vectores que ha de contener un sistema de generadores para generar un mismo subespacio?
y también nos planteábamos
¿cuál será la relación existente entre los vectores de un sistema para en unos casos un subconjunto de vectores genere el mismo subespacio y en otros casos genere subespacios distintos?.

La respuesta a estas cuestiones se puede obtemer con  el concepto de dependencia e independencia lineal de vectores.

Planteamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo:

Consideremos los siguientes vectores

¿Se puede expresar  el vector  como combinación lineal de los tres primeros vectores? . Para resolver esta cuestión en DERIVE, primero definimos estos vectores
y a continuación planteamos la ecuación vectorial
que una vez simplificada nos proporciona el sistema de ecuaciones
Si obtenemos una solución para a,b,c, habremos obtenido una combinación lineal de los tres primeros vectores, gracias a la cual obtendremos el cuarto vector. Si resolvemos el sistema anterior con el comando SOLVE, resulta
lo cual nos indica que
es decir que el vector se puede expresar como combinación lineal de los tres primeros vectores. La DEPENDENCIA que tiene este vector respecto del resto se traduce en la existencia de una DEPENDENCIA LINEAL en el conjunto de los cuatro vectores. Por eso definiremos
 
 

Definición: DEPENDENCIA LINEAL

Sean . Diremos que son LINEALMENTE DEPENDIENTES si al menos uno de ellos se puede escribir como combinación lineal del resto.
 
 

Pero puede plantearse una situación contraria, por ejemplo

Si tenemos los vectores (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0), podríamos intentar ver si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los dos restantes. Para efectuar esta comprobación en DERIVE, primero definiríamos nuestros tres vectores

cuyo sistema de ecuaciones viene dado por


que si intentamos resolver nos da como mensaje
 


luego esta primera combinación lineal no es posible.
 
 


al simplificar nos da
 


sistema claramente sin solución.
 
 
 


es decir, el sistema de ecuaciones
 


que nuevamente es incompatible.


En esta situación, podemos decir que los tres vectores son INDEPENDIENTES de combinaciones lineales, es decir son LINEALMENTE INDEPENDIENTES.
 
 

Por tanto podemos definir
 

Definición: INDEPENDENCIA LINEAL

Sean . Diremos que son LINEALMENTE INDEPENDIENTES si ninguno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los restantes.
 

    Estas definiciones son muy intuitivas, pero poco OPERATIVAS, ya que nos obligan a ir resolviendo varios sistemas de ecuaciones. Sería deseable obtener una características más operativas. Esta característica, que no es más que una CARACTERIZACIÓN  de los conceptos de dependencia e independencia lineal podemos intentarla deducir del siguiente ejemplo.
 

Ejemplo.

Consideremos los conjuntos de vectores de ejemplos anteriores de los cuales ya sabemos que son linealmente dependiente y linealmente independientes respectivamente:

            G1={(3,-1,0,4),(1,0,0,0),(0,1,0,-1),(5,0,0,3)} es l.d.

            G2={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} es l.i.

Intentemos observar ¿qué peculiaridad tienen estos conjuntos para ser l.i. o l.d.?

Comenzamos con el primer conjunto que sabemos es linealmente dependiente.

Tal como vimos se verificaba que el cuarto vector se podía expresar como combinación lineal de los otros tres:

esta igualdad se puede expresar de otra forma


Por otro lado con el conjunto l.d. obteníamos que la ecuación

no admitía ninguna solución para los escalares. Sin embargo sí se verifica que


¿Cuál podría ser por tanto una característica de estos dos tipos de conjuntos?
 

    Parece que los conjuntos Linealmente Dependientes, permiten obtener escalares no todos nulos en la ecuación que iguala una combinación lineal de los vectores objeto de estudio con el vector nulo.

    Por el contrario cuando el conjunto es Linealmente Independiente, la única solución a esta ecuación es que todos los escalares sean nulo.
 

Por tanto podemos concluir:
 

Proposición: CARACTERIZACIÓN DE CONJUNTOS L.I.-L.D.

El conjunto de vectores 

          a) es LINEALMENTE DEPENDIENTE si y sólo si existen escalares NO TODOS NULOS tales que

    b) es LINEALMENTE INDEPENDIENTE si y sólo si la ecuación se cumple solo si 

  Veamos algunos ejemplos que aplican esta caracterización en DERIVE.
 
 

Ejemplo.

Determinar si son L.I. o L.D los siguientes conjuntos de vectores

    a) {(-1,2,0), (1,0,1), (0,1,1)}
    b) {(1,2,3,-5),(1,4,1,-2),(2,0,-3,1),(0,6,7,-8)}
 

Comencemos intentando resolver el primero:

a) Para ello editamos en DERIVE la ecuación

     

    simplificamos y obtenemos el sistema de ecuaciones

    que al intentar resolver nos da como única solución

    por tanto el conjunto es L.I.
     

    b)Editamos la ecuación

            simplificamos
            y al resolver nos da


            por tanto existen infinitas soluciones no nulas, por ejemplo a=1, b=1, c=-1, d=-1, luego son L.D.
 
 

Ejercicio I.20.

Comprobar si los siguientes conjuntos de vectores son L.I. o L.D.

    a) {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,0)}
    b) {(0,0,0)}
    c) {(1,2,-1),(3,1,1),(1,0,-1)}
    d) {(1,1,0),(0,1,1)}
    e) {(1,3,6,5,3,4),(1,0,0,2,3,-1),(1,3,2,3,2,0),(1,1,-1,-2,3,1)
 
 

ALGUNAS PROPIEDADES IMPORTANTES.

  1) Un conjunto de vectores será LINEALMENTE INDEPENDIENTE o bien LINEALMENTE DEPENDIENTES
 

2) Cualquier conjunto de vectores que contenga el vector nulo será L.D.
 

Para demostrar esta propiedad, basta considerar un conjunto de vectores que contenga al vector nulo, por ejemplo {(1,2,3),(3,4,5),(0,0,0)}. Es evidente que para los escalares

                    0 (1,2,3) + 0 (3,4,5) + 8 (0,0,0) = (0,0,0)

se cumple la caracterización y obsérvese que los escalares no son todos nulos, pues en particular el que acompaña al (0,0,0) puede tomar cualquier valor.
 
 

Ejercicio I.21.

Demostrar con DERIVE que dados 5 vectores cualesquiera de R5 que contengan al vector nulo (0,0,0,0,0), son linealmente dependientes.
 
 
 

Estudiemos los siguientes ejercicios.

Ejercicio I.22

Determinar si son l.i. o l.d. los siguientes conjuntos de vectores

        a) {(1,2,3,4,5)}
        b) {(3,4,2,1,0,8,9)}
        c) {(9,7)}

¿Puedes extraer alguna conclusión general? 3) Los conjuntos de vectores unitarios no nulos son siempre L.I.
 
 

Ejercicio I.23.

Sea el siguiente conjunto de vectores {(1,2,3,0),(1,1,3,4),(8,3,4,5),(8,5,1,4)}. Comprobar con DERIVE que es l.d.

Estudiar si los conjunto de vectores siguientes son l.i. o l.d.

        1) {(1,2,3,0),(1,1,3,4),(8,3,4,5),(8,5,1,4),(1,2,3,4)}

        2) {(1,2,3,0),(1,1,3,4),(8,3,4,5),(8,5,1,4),(0,-1,2,2)}

        3){(1,2,3,0),(1,1,3,4),(8,3,4,5),(8,5,1,4),(3,4,5,7),(1,2,3,1)}

     
    ¿Podrías deducir alguna propiedad de los conjuntos de vectores linealmente dependientes?
     
     

    1) Si M es un conjunto de vectores L.D. entonces cualquier conjunto M' en el que esté incluido M vuelve a ser L.D.

Ejercicio I.24.

Intenta demostrar de forma general esta propiedad anterior.
 
 

Ejercicio I.25.

Consideremos el siguiente conjunto de vectores G={(2,0,3,4}(1,1,2,1),(3,1,2,0)}

Comprobar que es un conjunto l.i.

Estudiar si son l.i. o l.d. los siguientes subconjuntos de G

        1) {(2,0,3,4),(1,1,2,1)}

        2) {(2,0,3,4)}

¿Podrías deducir alguna propiedad de los conjuntos de vectores linealmente independientes?
 
 

        2) Si M es un conjunto de vectores L.I. entonces cualquier subconjunto suyo es L.I.
 
 
 
 

CONCEPTO DE RANGO DE UN CONJUNTO DE VECTORES
 
 

Definición: RANGO

Dado un conjunto de vectores de un espacio vectorial V, se denomina RANGO de ese conjunto al número máximo de vectores LINEALMENTE INDEPENDIENTES.
 
 

El procedimiento para obtener el rango de un conjunto de vectores consiste en partir del conjunto total de vectores y decidir si son l.i., en caso de serlo el rango sería el número total de vectores, si no lo son, se elimina aquel vector que se pueda expresar como combinación lineal del resto, construyendo así un nuevo conjunto que contiene todos los vectores iniciales salvo el anterior, conjunto sobre el que efectuamos el procedimiento anterior.

Veamos un ejemplo práctico utilizando DERIVE.
 
 

Ejemplo.

Determinar el rango del conjunto de vectores {(2,1,0), (1,-1,3), (0,-3,6), (6,0,6)}.

En primer lugar vamos a determinar si los cuatro vectores son l.d. (hecho que es evidente pues se trata de 4 vectores de R3). Para ello utilizamos la caracterización editando la ecuación vectorial:

es decir, el sistema de ecuaciones:
Como tenemos un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas, editamos nuevamente la expresión anterior añadiendo un 0, que nos permite obtener en caso se existir las soluciones parametrizadas:
al resolver con SOLVE obtenemos
que dando valores a @2=1 y @3=1 (mediante MANAGE-SUBSTITUTE) se obtiene tras simplificar
luego se tiene que

                        (2,1,0) + (1,-1,3) - 1/2 (6,0,6) = (0,0,0)

En consecuencia el sistema es l.d. y podemos afirmar que el vector (6,0,6) se puede expresar como combinación lineal del resto. Tomamos en consecuencia sólo los tres primeros vectores e intentemos ver si son l.i. Para ello nuevamente planteamos la ecuación vectorial
 


cuyo sistema de ecuaciones se obtiene simplificando y resulta

que al resolver nos da
con lo que tenemos nuevamente que es un conjunto linealmente dependiente. Según este resultado se puede afirmar que

                            (2,1,0) - 2(1,-1,3) + (0,-3,6) = (0,0,0)

por tanto podemos afirmar que cualquiera de los tres vectores se puede expresar como combinación lineal de los restantes, por ejemplo (0,-3,6), ya que

                                    (0,-3,6) = 2 (1,-1,3) - (,2,1,0)
 

Partimos entonces ahora del conjunto {(2,1,0),(1,-1,3)}. Comprobemos si son l.i. Editamos nuevamente la ecuación

es decir el sistema
que al resolver nos da
Por tanto son l.i., en consecuencia el rango de ese conjunto de vectores es 2.
 
 

Ejercicio I.25.

Calcular el rango de los siguientes conjuntos de vectores:

        a) {(1,-2,1,1),(3,0,2,-2),(0,4,-1,1)}

        b) {(1,2,3,0),(1,0,0,1),(1,0,0,-1),(0,2,3,1)}
 

Si consideramos los vectores del ejemplo anterior

G1={(2,1,0), (1,-1,3), (0,-3,6), (6,0,6)}

como (6,0,6) se puede expresar como combinación lineal de los tres restantes es evidente que el subespacio generado por G1 es el mismo que genera el conjunto de vectores

            G2={(2,1,0), (1,-1,3), (0,-3,6)}

pero como nuevamente (0,-3,6) se puede expresar como combinación lineal de los dos primeros, nuevamente podemos decir que el conjunto

            G3={(2,1,0), (1,-1,3)}

generará el mismo subespacio vectorial. En resumen tenemos que

                L(G1)=L(G2)=L(G3). estando 

Del mismo modo podríamos formar nuevos sistemas de generadores a partir del conjunto de vectores G1 sin más que añadir un vector que fuese combinación lineal de los vectores de este conjunto, por ejemplo si tomamos

se cumplirá que

                L(G4)=L(G1)

pues el nuevo vector (6,2,0) = 3 (2,1,0).
 
 

Según este razonamiento podemos obtener la siguiente propiedad general
 
 

Proposición

Sea un SISTEMA DE GENERADORES de V. Entonces se verifica que

        1) Si G es un conjunto L.D. entonces existe al menos un subconjunto suyo G' que genera a V.

        2) Si G es un conjunto L.I. entonces no existe ningún subconjunto suyo que genere a V.

 

A partir de esta propiedad parece claro afirmar que el número mínimo de vectores de un conjunto que generan un subespacio vectorial W vendrá dado por el RANGO de ese conjunto.
 
 

Ejercicio I.26

Sea W el subespacio generado por el conjunto de vectores

G={(1,2,3,1),(0,1,2,3),(1,0,0,0),(1,0,-1,-5),(1,2,4,6)}

Determinar con la ayuda de DERIVE,

        a) el rango del conjunto G

        b) el conjunto G' que contiene el mínimo número de vectores de G precisos para generar el mínimo número de vectores precisos para generar W.
 
 

Del ejercicio anterior se puede obtener la siguiente propiedad:
 
 

Proposición

Si los conjuntos de vectores

son dos sistemas de generadores de V y se verifica que el conjunto G' es l.i. entonces se verifica que


 
 
 
 

Así pues el rango de un sistema de generadores de un espacio vectorial marca el mínimo número de vectores que ha de contener cualquier sistema de generadores de dicho espacio.
 
 
 
 
 
 
 

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