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II. 3. RELACION ENTRE MATRIZ Y APLICACIÓN LINEAL.
 

CONTENIDOS:

a) Matriz asociada a una aplicación lineal
b) Aplicación lineal asociada a una matriz
 

    En este apartado vamos a considerar las relación existente entre las aplicaciones lineales y las matrices. Para ello estudiaremos el procedimiento para obtener una matriz a partir de una aplicación lineal y el proceso contrario, es decir, como obtener la aplicación lineal si tenemos la matriz que la representa.
 

Para poder manipular estos dos casos, consideremos dos apartados:
 


A) MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL.

Sea una aplicación lineal cualquiera, por ejemplo, editemos en DERIVE la aplicación lineal f

Sabemos que un vector queda determinado de forma unívoca cuando conocemos las coordenadas de dicho vector en una base determinada, por ello como la aplicación lineal que hemos planteado es, consideremos dos bases, una de R3 y otra de R2, de tal forma que podamos determinar las coordenadas del vector origen respecto de la base de R3 indicada y el vector imagen mediante la base de R2.

    Así pues sea B1 una base de R3 dada por los siguientes vectores que definimos previamente en DERIVE como:

Y sea una base B2 de R2 dada por los vectores siguiente en DERIVE:
Tomemos ahora un vector cualquiera de R3 , sea por ejemplo el vector w de componentes:
Las coordenadas de este vector en la base {u1,u2,u3} se obtiene fácilmente en DERIVE, basta con plantear la ecuación vectorial
 


que al SIMPLIFICAR nos da el sistema lineal
 


ahora resolviendo con SOLVE obtenemos
 


Por tanto 

Vamos a calcular la imagen de este vector, considerando, primero sus componentes y luego su expresión respecto de dichas bases.

Si consideramos las componentes del vector  es evidente que efectuando en DERIVE

se obtienen las componentes del vector imagen de .
 
 

    Pero veamos qué sucede si consideramos ahora las bases B1 y B2 señaladas anteriormente.

Por un lado tenemos que las coordenadas de la imagen en la base B2 se obtendrían realizando en DERIVE:
 


Por otro lado observemos que como
 


al ser f lineal se tiene que
 


    Por tanto si obtenemos las coordenadas de los vectores  respecto de la base B2 obtendríamos otro método para calcular las coordenadas de . Este proceso se efectúa de forma automática en DERIVE realizando las siguientes operaciones:
 


Por tanto
 


Este producto se puede realizar de forma matricial considerando
 


Donde la matriz contiene las coordenadas de los vectores de la base B1 respecto de la base B2 y obsérvese que su resultado al SIMPLIFICAR nos da
 


que son justamente las coordenadas del vector imagen respecto de la base B2.
 
 

        A la matriz que hemos obtenido se la denomina MATRIZ ASOCIADA A LA APLICACIÓN LINEAL RESPECTO DE LAS BASES B1 Y B2.

Esta matriz se obtiene calculando las coordenadas de los vectores de la bases B1 respecto de la base B2.
 
 

    Se puede comprobar para otros vectores que esta construcción es correcta, por ejemplo, consideremos ahora el vector
 


cuyas componentes se obtienen al simplificar y son
 


Las coordenadas respecto de B2 de la imagen de w1 se obtienen efectuando las siguientes operaciones en DERIVE.

    Primero editamos la ecuación vectorial
 


    Simplificando se obtiene el sistema lineal
 


    y con SOLVE se resuelve y nos da
 


    Si efectuamos el producto de la matriz obtenida antes por las coordenadas del vector w1 en la base B1 resulta
 


 
 

             * Si modificamos las bases, es evidente que la matriz varia.

Para comprobarlo consideremos la misma aplicación lineal, pero ahora tomemos como base del espacio inicial es decir la báse canónica de R3 y la base B2 anterior.

Ahora debemos obtener las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base canónica en la base B2 . Para ello editaremos en DERIVE la ecuación vectorial
 


simplificamos y resulta
 


y con SOLVE se obtienen las coordenadas del primer vector de la base canónica en B2
 


Realizando las mismas operaciones con los otros dos vectores se tiene
 


por lo que la matriz asociada ahora respecto de estas nuevas bases sería
 

            * Veamos otra matriz asociada pero ahora considerando en como base inicial B1 y como base del espacio final . En este caso la matriz asociada se obtendrá calculando directamente las coordenadas de los vectores de la base B1 respecto de la base canónica, operación que se simplifica enormemente, pues las coordenadas de un vector en la base canónica coinciden con sus componente por lo que bastará efectuar en DERIVE lo siguiente
 


En cuyo caso la matriz asociada será
 


* Un último caso sería considerar, la misma aplicación lineal y obtener la matriz asociada respecto a las bases canónicas. Este caso sumamente sencillo se realizará en DERIVE efectuando
 


por lo que la matriz asociada en este caso es

Ejercicio II-13.

Sea  definida por f(x,y,z)=(2x,x+y,y,0)

Sean las bases B1={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)} de R4

y B2={(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)} de R3.

Se pide obtener las matrices asociadas respecto :

    a) Las bases canónicas de R3 y R4

    b) La base B2 de R3 y la base canónica de R4

    c) La base B2 de R3 y la base B1 de R4.

    d) La base canónica de R3 y la base B1 de R4
 

Observación

1) Cuando hablamos de la MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL, normalmente nos referimos a la matriz asociada respecto de las bases canónicas. Se puede observar lo fácil que resulta obtener la matriz asociada a una aplicación lineal respecto de las bases canónicas.

Ejercicio II-14.

Calcular la MATRIZ ASOCIADA de las siguientes aplicaciones lineales:

        a) f(x,y)=(2x-3y,y+x,2x)

        b) f(x,y)=(x,y,x+y)

        c) f(x,y,z,t)= (3x-2y,3x+2z,t-y)
 

        2) Para obtener la expresión de una aplicación lineal f no es necesario conocer los transformados de todos los vectores del espacio de partida, basta con conocer las imágenes de los vectores de una base cualquiera del espacio inicial. Este hecho es el que fundamenta la construcción de la matriz asociada.
 
 

            3) Las matrices asociadas a la APLICACIÓN IDENTIDAD y APLICACIÓN NULA (respecto de las bases canónicas) son la MATRIZ IDENTIDAD, y la MATRIZ NULA.
 

Ejercicio II-15.

Calcular la matriz asociada a la aplicación identidad del espacio R4

¿cómo será la del espacio R5? ¿ y la del espacio R3?
 
 

Ejercicio II-16.

Dada la aplicación lineal nula  , obtener su matriz asociada.
 
 


B )APLICACIÓN LINEAL ASOCIADA A UNA MATRIZ.

En el apartado anterior hemos visto que dada una aplicación lineal  y dadas las bases B1 de Rn y B2 de Rm , la matriz asociada a f respecto a dichas bases es una matriz  tal que sus columnas están formadas por las COORDENADAS de las imágenes de los vectores de la base B1 en la base B2.

Ahora tomamos una matriz cualquiera
 


matriz asociada a cierta aplicación  respecto de las bases
de Rn y

de Rm

            ¿Cómo es f?
 
 

        Consideremos un caso concreto. Sea la matriz dada en DERIVE por
 


                y sea una base 

siendo tales vectores los siguientes:
 
 


y la base  cuyos vectores definidos en DERIVE son
 


            Si esta matriz es la matriz asociada a una cierta aplicación lineal f respecto estas bases B1 y B2 , recordemos que si tenemos un vector cualquiera de R3 de componentes
 

este vector tendrá ciertas coordenadas respecto de la base B1, (x1,x2,x3), para obtenerlas basta con editar la ecuación vectorial
 


simplificar
 


y este sistema de ecuaciones resolverlo con SOLVE respecto de x1, x2 y x3 y se obtiene
 


Entonces obsérvese que como
 


y en la matriz asociada tenemos que las columnas son justamente las coordenadas de los vectores de B1 en la base B2

Teniendo en cuenta estas consideraciones tendremos que
 


por tanto si efectuamos con DERIVE las operaciones anteriores debemos editar
 

y al simplificar resulta
 
por tanto la aplicación lineal es
 
f(x,y,z)=(2x-2y+z, 2y+2z)

Ejercicio II-17

        Obtener la aplicación lineal que tiene por matriz asociada respecto de la base B1 de R3 considerada antes y la base canónica de R2 la matriz
 

Ejercicio II-18

        Obtener la aplicación lineal que tiene por matriz asociada respecto de la base canónica de R3 y la base canónica de R2 la matriz
 


 

        Se puede observar que, a pesar de estar trabajando con la misma matriz, la aplicación lineal resulta distinta, pues las bases de referencia son totalmente distintas.
 
 

Con estos dos apartados podemos llegar a la siguiente conclusión:

Si A es la matriz de orden mxn asociada a una aplicación lineal f de B1 y B2 resulta que

siendo  las coordenadas de un vector inicial  en B1 las coordenadas de  en B2
 
 

        Esto nos muestra la estrecha relación que hay entre matrices y aplicaciones lineales a partiendo de una base en los espacios de partida y de llegada. La relación es unívoca, pues dadas dos bases de los espacios inicial y final de una aplicación lineal, toda aplicación lineal lleva asociada una sola matriz y viceversa toda matriz representa una sola aplicación lineal.
 
 

Ejercicio II-19
Sea una aplicación lineal  y las bases
    B1={(1,2,0),(1,1,0),(0,0,1)} ; B2={(1,0),(1,1)}

a) Calcular la matriz asociada a dicha aplicación lineal f en las bases B1 y B2 de los espacios inicial y final respectivamente.

b) Una vez obtenida la matriz, comprobar que esa matriz tiene asociada la aplicación f respecto de las bases anteriores.
 
 

Ejercicio II-20.

Dada la aplicación lineal f(x,y,z)=(x+y+z+t,y+z-2t,x+4t)

  1. Obtener la matriz asociada a la misma respecto de las bases canónicas en los espacios inicial y final.
  2. Comprobar que la matriz asociada obtenida en el apartado anterior tiene como aplicación lineal a f respecto de las bases canónicas.
  3. ¿Podrías deducir alguna propiedad de la relación entre matrices y aplicaciones lineales respecto de bases canónicas?

OBSERVACIÓN.

Si consideramos las bases canónicas en los espacios inicial y final de una aplicación lineal, se puede asegurar que

para todo 

                    si  y A es la matriz asociada a f respecto a dichas bases.
 
 
 

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