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II. 4. RANGO DE UNA MATRIZ.
 
  INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE RANGO.     En la sección anterior hemos visto la relación unívoca que hay entre matrices y aplicaciones lineales. Pero podemos deducir un resultado que relaciona SISTEMAS DE GENERADORES de la Imagen de una aplicación lineal, con las COLUMNAS DE SU MATRIZ ASOCIADA. Para ello consideremos el siguiente ejemplo:
 
 

Sea la aplicación lineal definida en DERIVE por
 


Obtener su matriz asociada respecto de las bases canónicas de R3 resulta evidente, basta calcular las imágenes de los vectores de la base canónica, es decir, efectuar
 


Es claro que la matriz asociada sería
 


Pero obsérvese que las columnas de esta matriz son las imágenes de los vectores de la base inicial. ¿Cómo es el subespacio Im(f)?

Por definición

Si planteamos estas ecuaciones en DERIVE tendríamos que introducir la ecuación vectorial

que al simplificar nos da el sistema


si ahora anulamos los parámetros x1, x2, x3 veamos qué se obtiene.

Para anular x1 efectuamos:

y ahora sustituimos en el sistema anterior x1 por su valor con MANAGE SUBSTITUTE
 
Para anular x2 efectuamos,
 
sustituyendo en el último sistema tendremos al simplificar
 
Por último para eliminar x3 efectuamos
 
y al sustituir x3 por el valor obtenido en el último sistema tenemos
 
como siempre existen estos valores, para cualesquiera (y1,y2,y3), resulta que Im(f)=R3.
 

Por otro lado obsérvese que los vectores columna de la matriz asociada son linealmente independiente pues si los DEFINIMOS CON DERIVE así:
 


y planteamos la ecuación vectorial
 


al simplificarla obtenemos el sistema
 


que al resolver nos da como única solución
 


luego son linealmente independiente, en consecuencia forman una base de R3 y por tanto son un sistema de generadores de R3, es decir son un sistema de generadores de Im(f).
 
 

Esto lo hemos realizado para una aplicación concreta, pero se puede generalizar en el siguiente resultado:
 
 
 
 

Proposición.

Sean V y V' dos K-espacios vectoriales de dimensión n y m, respectivamente. Dada una aplicación lineal f definida de V en V' con matriz asociada A respecto de las bases  y la base canónica de V', entonces se verifica que:
 

( a) Si  es la base canónica de V, entonces el conjunto de vectores
     
    es un SISTEMA DE GENERADORES de Im(f).

    (b) Los vectores columna de la matriz A es también un sistema de generadores de Im(f).


 
 

Ejercicio II-21

Dada la aplicación lineal definida en DERIVE como
 


Obtener un sistema de generadores del subespacio Im(f).
 
 
 


CONCEPTO DE RANGO DE UNA MATRIZ

Supongamos un nuevo ejemplo. Consideremos la aplicación lineal dada en el ejercicio II-21 anterior
 


Ya sabemos obtener un sistema de generadores de Im(f); pero ¿podríamos obtener una base de dicho subespacio?

Obsérvese que la matriz asociada a dicha aplicación lineal sería
 


por tanto
 

Im(f)=L{(1,2,0),(1,0,0),(1,-1,1),(1,0,1)}


si consideramos los tres primeros vectores columna, podemos comprobar que son linealmente independientes pues efectuando con DERIVE las siguientes operaciones
 

por tanto una base de Im(f) viene dada por esos tres primeros vectores columna. En consecuencia la dimensión de Im(f) es justamente el máximo número de vectores columna de A que son linealmente independientes, a ese número le denominaremos el rango de la matriz A.
 
 

Definición.

Dada una matriz cualquiera A de orden mxn se denomina RANGO DE LA MATRIZ A y se denota por rg(A) al máximo número de vectores columna de A linealmente independientes.
 
 

Esta definición nos permite efectuar una
 
 

Clasificación de las matrices en función del rango

Sea  entonces
 

(a) Si  y rg(A)=min{m,n} diremos que la matriz A es una matriz de RANGO COMPLETO, en caso contrario diremos que A NO ES DE RANGO COMPLETO:

(b) Si m=n entonces

Vamos a realizar un ejemplo con el que efectuar un cálculo de rangos mediante DERIVE. EJEMPLO

Calcular el rango de la matriz  con DERIVE.

Definimos en primer lugar los cuatro vectores columna de la siguiente forma
 

Vamos a buscar el mínimo de vectores columna linealmente independientes. Claramente este mínimo es 1, pues todos los vectores son no nulos, por lo tanto rg(A) es mayor o igual que 1. Veamos ahora si existen dos vectores linealmente independientes

Tomemos una combinación lineal de los dos primeros
 

si resolvemos esta ecuación vectorial primero SIMPLIFICANDO
 
y luego resolviendo este sistema lineal respecto de  obtenemos con SOLVE que
 
luego los dos primeros vectores son l.i., en consecuencia 

Veamos ahora si hay tres vectores l.i., para lo cual tomamos los dos anteriores y añadimos el tercer vector, efectuando como antes con DERIVE las operaciones anteriores obtenemos
 

resulta que los tres primeros vectores columna son l.i. luego 

Veamos si puede tener rango 4, considerando primero los cuatro primeros vectores. Efectuando con DERIVE
 

se obtienen valores distinto a 0 para los diferentes parámetros, luego los cuatro primeros vectores columna son l.d.

Intentemos ahora ver si son l.i. los tres primeros y el quinto:
 

de donde se deduce que no hay cuatro vectores l.i. en consecuencia el rango de esta matriz es 3.
 
 

Ejercicio II-22.

Calcular el rango de la siguiente matriz utilizando DERIVE.
 


RELACIÓN ENTRE EL RANGO DE UNA MATRIZ Y LA APLICACIÓN LINEAL QUE REPRESENTA

A partir de la definición de RANGO DE UNA MATRIZ y la relación que hemos comentado entre la imagen de una aplicación lineal y los vectores columna de su matriz asociada, es facil deducir:
 
 

Corolario

Si A es la matriz asociada a una aplicación lineal  respecto de una base cualquiera B1 de Rn y la base canónica de Rm entonces se verifica que
 

dim(Im(f))=rg(A)
 

En consecuencia, construir la Imagen de una aplicación lineal, a partir de los resultados obtenidos resulta sencillo.

Veamos un ejemplo.

Sea la aplicación lineal definida en DERIVE de la forma
 


Determinar Im(f) y una base de Im(f).

Busquemos primero la matriz asociada, calculando la imagen de los vectores de la base canónica de R4, efectuando
 

luego la matriz es
  Sabemos que Im(f) está generada por los vectores columna, y que dim(Im(f))=rg(A). Si calculamos el rango de A obtendremos los vectores que hemos de tomar para generar Im(f).
Definimos en DERIVE los cuatro vectores columna
 
Estudiemos si los tres primeros son l.i. editando la ecuación vectorial
 


al simplificar nos da
 


y al resolver obtenemos
 


luego son l.i., en consecuencia dim(Im(f))=3, luego Im(f)=R3.
 
 

Ejercicio II-23

Dada la aplicación lineal
 


Determina el rango de la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas de R5 y obtener Im(f).
 
 

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