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II. 6. MATRIZ INVERSA. APLICACIÓN LINEAL INVERSA.
 
 
 

DEFINICIÓN DE APLICACIÓN LINEAL INVERSA Y MATRIZ INVERSA.
 

En apartados anteriores habíamos definido el concepto de aplicación inversa de una aplicación lineal dada y la relación que guardaban estas aplicaciones lineales construidas respecto a sus matrices asociadas. Vamos a recordarlo con un ejemplo.

Sea f  la aplicación definida en DERIVE por
 

Se puede comprobar que la aplicación g:
 
es justamente la aplicación lineal inversa de f porque se verifica que:
 
Es decir tenemos que
 


¿Cuál es la relación que guardan sus matrices asociadas?

La matriz asociada a f respecto de las bases canónicas de R3 es
 

y la matriz asociada a g es
 
¿Cuál será la matriz asociada a la composición?

Obsérvese que los productos:
 

matriz correspondiente asociada a la aplicación identidad.

En conclusión tenemos que
 
 

Definición (Aplicación lineal inversa y matriz inversa)

Sea con matriz asociada . Si existe entonces
  a)  es lineal b)  por lo que existe una matriz  tal que si A es la matriz asociada a f se cumple que
  A.B = B.A = Id.


A esta matriz B se la denomina la matriz inversa de A , es decir B=A-1.


 

Ejercicio II-32

Dadas las matrices
 

,


Obtener los valores de c y d para que B sea la matriz inversa de A.
 
 

Una de las características fundamentales de las matrices y por tanto de las aplicaciones lineales, es que no todas las matrices y aplicaciones lineales tienen inversa. Para ello vamos a estudiar el siguiente ejemplo.

Consideremos la siguiente matriz

¿Podríamos obtener su matriz inversa?

Una posible forma de resolver este problema consistiría en plantear la siguiente situación en DERIVE:

    Si editamos la matriz A de la que tenemos que obtener su inversa
 

a continuación definimos la matriz B que será candidata a inversa de A, de la cual desconocemos todos sus elementos, por lo que los planteamos en forma de incógnita:
 
Esta matriz B deberá verificar la ecuación:
 
que al simplificar con el comando SIMPLIFY obtenemos las 9 ecuaciones que deberíamos resolver
 
Si ahora intentamos resolverlas con SOLVE, obtenemos en la línea de estado el mensaje
 
Es decir, que no existe una matriz inversa de A.
 
 
 
¿Por qué?

¿Cuál es la característica que ha de tener una matriz para tener inversa?


 

    Una primera consideración al respecto es que LAS MATRICES NO CUADRADAS NO TIENEN INVERSA. Esta consideración es evidente, pues la INVERSA debe verificar que el producto por la izquierda y por la derecha debe dar siempre la matriz identidad, hecho que sólo se produce cuando la matriz es CUADRADA.
 
 

Por otro lado acabamos de ver que NO TODAS LAS MATRICES CUADRADAS TIENEN INVERSA.
 
 

Para investigar sobre una condición de INVERTIBILIDAD, vamos a considerar el siguiente ejercicio.
 
 

Ejercicio II-33.

Estudiar si la matriz
 


tiene inversa.
 
 

El resultado de este ejercicio es que la matriz inversa sería la matriz
 

por lo que sí tiene inversa.
 
¿Por qué la matriz  tiene inversa y sin embargo  no la tiene?

¿Qué características debe tener una matriz CUADRADA para tener inversa?

¿Cuál es el rango de A? ¿Y el rango de C?

Intentar investigar esta propiedad.


 
 

CONDICIÓN DE INVERTIBILIDAD
 

Sea  se verifica que A tiene inversa rg(A)=n (la matriz A tiene rango completo)


Ejercicio II-34.

Dadas las matrices cuadradas de orden 3:

estudiar cuales tienen inversa.
 


 

PROPIEDADES DE LAS MATRICES INVERTIBLES.

Cuando una matriz cuadrada A tiene inversa decimos que A es INVERTIBLE y a su inversa se la denota por A-1.
 
 

Vamos a investigar ahora las propiedades que tienen las matrices invertibles. Para lo cual consideremos dos matrices en DERIVE.
 


Estas matrices son invertibles como se ha visto en el ejercicio anterior, veamos las propiedades que cumplen.
 
 

Para calcular la matriz inversa de A efectuaremos en DERIVE lo siguiente:


Primero definimos la matriz inversa con 9 incógnitas las llamamos IA:
 

Planteamos la ecuación matricial
 
que nos da el sistema
 
cuyas soluciones con SOLVE son
 
por lo que la matriz inversa es
Hacemos lo mismo con B:
 
y tras resolver este sistema con SOLVE obtenemos
 


por tanto la inversa de B es:
 


Como puede observarse al resolver los dos sistemas obtenemos soluciones UNICAS. Esto nos conduce a la primera propiedad
 
 

    1) LA MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ INVERTIBLE ES UNICA.

Teníamos calculada la matriz inversa de A y era la matriz

Vamos a nombrarla en DERIVE como IB:

    Tomemos una matriz genérica de orden 3
     


    Vamos a calcular la inversa de esta matriz IB en DERIVE por el procedimiento que hemos realizado antes:

    editamos la ecuación matricial que ha de cumplir MG para ser la inversa de IB
     


    simplificamos y obtenemos el sistema
     


    que al resolver nos da como soluciones
     
     
     


    es decir la matriz
     

    que es la matriz A.

    Por tanto resumiendo hemos obtenido que (A-1)-1 =A

    2) LA MATRIZ INVERSA A-1 INVERSA DE A CUMPLE (A-1)-1=A
     
     
     
     

    Con las mismas matrices que tenemos antes, A, B, vamos a calcular la inversa de A.B. Para ello multipliquemos las matrices por la matriz incógnita de orden tres planteando la ecuación
     
al simplicar obtenemos el sistema
     
luego se resuelve con SOLVE y resulta
     
por tanto (A.B)-1 es la matriz
     


    ¿Habría otra forma de calcular es inversa del producto por medio de la inversas de las matrices?

    Intentemos multiplicar A-1.B-1
     


    Obsérvese que no obtenemos el resultado deseado, por el contrario efectuando

    B-1.A-1
     

    Obtenemos la inversa anterior, por tanto podríamos concluir que
     

    3) (A.B)-1 = B-1.A-1
     

Ejercicio II-35.

Dadas las matrices
 

a) Hallar c y d para que A sea la matriz inversa de B.
b) Calcular las inversas de C y BC ; y comprobar que (BC)-1=C-1B-1.



 

METODO DE GAUSS-JORDAN PARA EL CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ.

    Uno de los métodos más habituales para obtener la matriz inversa de una matriz invertible es el llamado método de Gauss-Jordan.

Este método consiste en ir efectuando transformaciones ELEMENTALES P1,P2,...,Pr entre las FILAS de la matriz inicial A para conseguir transformarla en la matriz identidad. Las transformaciones conseguidas permitirar obtener la matriz inversa.

Las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES que se podrán realizar con las FILAS de la matriz A serán:

a) intercambiar filas

b) multiplicar una fila por un escalar.

c) sumar a una fila una combinación lineal de las restantes.

    La idea consiste en ir aplicando a la matriz A una serie de transformaciones encaminadas a conseguir obtener la matriz identidad, es decir:  

 
 

¿Cómo son estas transformaciones, cómo efectuarlas?
 

Consideremos la siguiente matriz en DERIVE: Deseamos efectuar transformaciones en esta matriz para convertirla en la matriz identidad de orden 3. Un primer cambio podría ser intentar convertir la primera columna en (1,0,0), para ello dejamos la primera fila como está, la segunda también y la tercera podríamos combinarla linealmente con la primera. Esto se puede efectuar mediante multiplicando la matriz A por la matriz P1 siguiente:
 


obsérvese que en la primera fila de esta matriz indicamos que la primera columna queda tal cual, con la segunda fila de esta matriz indicamos que la segunda columna de A quedará tal cual, y en la tercera fila indicamos que la tercera columna de esta transformación (producto de P1.A) se obtendrá sumando primera y tercera fila. Efectivamente si realizamos este producto obtenemos
 

Con la matriz que hemos obtenido tenemos que transformar la segunda columna (3,1,6) en la columna (0,1,0). Esto lo podremos conseguir considerando una transformación que realice lo siguiente: Por tanto la matriz P2 será
 
Si efectuamos ahora el producto P2(P1A) obtenemos   Ahora vamos a intentar convertir la última columna en la columna (0,0,1). Para ello realizaremos la siguiente transformación: Con estas consideraciones construimos la tercera matriz P3:
 
Al multiplicar ahora P3(P2P1A) resulta   En consecuencia el producto (P3P2P1) debe darnos la matriz inversa de A, que será:   Si la definimos como la matriz B   Podemos comprobar que A.B = B.A = Id.   Las matrices de transformación que hemos empleado podrían haber sido otras, y con un orden distinto, podrían haber sido más, pero siempre el producto final nos daría la misma matriz.   Así por ejemplo podríamos haber efectuado los siguiente: Con esta matriz A se transforma en
con esta transformación queda
quedando ahora el proceso de la siguiente forma
En cuyo caso el producto de transformaciones es
 
Para convertir (-4,2,1) en la columna (0,0,1) construimos la matriz de transformación
 
Con lo que ya tenemos la identidad al finalizar el producto con
 
Obsérvese que el producto de esas cinco matrices nos da la misma matriz inversa que habíamos calculado antes con otras transformaciones:
 
Ejercicio II-36.

Dada la matriz  construir la matriz inversa de A mediante el producto de transformaciones de Gauss-Jordan realizadas sobre la matriz A.
 
 

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