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II.7.  TIPOS DE MATRICES

En este apartado vamos a dedicarnos a estudiar algunos tipos de matrices atendiendo fundamentalmente a dos criterios:

. SEGÚN LA DISPOSICIÓN DE SUS ELEMENTOS:

  • SEGÚN EL COMPORTAMIENTO DE LA MATRIZ ANTE CIERTAS OPERACIONES
    1. MATRICES TRIANGULARES
    Definición: Matriz triangular superior

    La matriz A=(aij) una matriz cuadrada de orden n. Diremos que A es TRIANGULAR SUPERIOR si todos los elementos de A situados bajo la diagonal principal son nulos, es decir: aij=0 para todo i>j; i,j=1,....,n

    Por ejemplo las matrices

    y
     


    son matrices triangulares superiores.
     

    Definición: Matriz tiangular inferior

    La matriz A=(aij) una matriz cuadrada de orden n. Diremos que A es TRIANGULAR INFERIOR si todos los elementos de A situados por encima de la diagonal principal son nulos, es decir: aij=0 para todo i<j; i,j=1,....,n

    Por ejemplo, las matrices
     

    y
     
    son triangulares inferiores.

    Definición: Matriz diagonal

    La matriz A=(aij) una matriz cuadrada de orden n. Diremos que A es una MATRIZ DIAGONAL si es triangular superior y triangular inferioes, es aij=0 para todo i distinto de j; i,j=1,....,n

    Por ejemplo, las matrices
     

    y
     
    son matrices diagonales.
     
     

    PROPIEDADES DE LAS MATRICES TRIANGULARES.

    Consideremos las matrices triangulares superiores A,B de orden cuatro, definidas en los ejemplos anteriores, podemos comprobar que
     

    1) A+B es triangular superior
       
      Obsérvese que A+B se obtiene
       
      que vuelve a ser triangular superior.

      2) a A es triangular superior (para todo R)

      Si efectuamos
       

      obtenemos una matriz triangular superior

      3) A.B es triangular superior.

      Si calculamos con DERIVE este producto
       

      que nuevamente es triangular superior.

      4) Si A tiene inversa, A-1 es triangular superior.

    Tomamos la matriz A, que es triangular superior, vamos a calcular su inversa.

    Consideremos una matriz general de orden 4
     

    la candidata a inversa de A deberá verificar la ecuación matricial
      que al simplificar nos da el total de ecuaciones que tiene que verificar
      con SOLVE obtenemos los elementos de la inversa:
      por tanto la inversa de A , si la llamamos IA será
      que es triangular superior.
    Ejercicio II-37a

    A partir de las matrices C y D definidas como matrices triangulares inferiores de orden 4 comprobar que se verifican las mismas propiedades que para las matrices triangulares superiores.

    Ejercicio II-37b

    Comprobar que tomando las matrices E y F diagonales, se verifican las mismas propiedades que para matrices triangulares superiores e inferiores.


     
     

    B) MATRICES TRASPUESTAS
    Definición: Matriz traspuesta

    Sea una matriz cualquiera A=(aij) de orden mxn. Diremos que la matriz B=(bij) de orden nxm es la traspuesta de A si las filas de A son las columnas de B. Esta operación se suele denotar por  At = A' = B

    En DERIVE esta operación está implementada en el núcleo del sistema. Para calcular la matriz traspuesta de una matriz A definida basta editar en DERIVE "A`". Por ejemplo, si

    para obtener su traspuesta basta con editar en DERIVE la expresión
    (obsérvese que es el acénto grave), expresión que al simplificar nos da la traspuesta de A:
    Como puede comprobarse es una operación muy sencilla.

    Ejercicio II-38a.

    Definir dos matrices A y B de orden mxn y una matriz C de orden nxp (concretas), por ejemplo:
     



    comprobar que se verifican las siguientes propiedades:
    1) (A+B)t=At+Bt
    2) (a A)t=a At
    3) (A.C)t=Ct.At
    4) rg(A)=rg(At)
    5) Si A tiene inversa, entonces (At)-1=(A-1)t
    6)  Si At.A=0 entonces A=O siendo O la matriz nula de orden mxn
    (Nota para la propiedad 6, intentad buscar una matriz que verifique la ecuación, y concluir con el resultado).
     
     
    c) MATRICES SIMÉTRICAS
    Definición: Matríz simétrica

    Diremos que una matriz A de orden mxn es una matriz simétrica si coincide con su traspuesta, es decir A=A`

    Es evidente que las matrices simétricas tienen que ser matrices cuadradas.
     

    Ejercicio II-38b.

    Construir dos matrices simétricas A y B de orden 4 y comprobar que se verifican las siguientes propiedades:
     

    1) A+B es simétrica
    2) a A es simétrica para cualquier 
    3) Si la matriz A tiene inversa entonces A-1 es simétrica.
    4) En general A.B y B.A no han de ser simétricas.
     
    Demostrar formalmente estas propiedades resulta muy sencillo porque:

    Sean A,B matrices de orden n simétricas (A=A`; B=B`)
     

    1) Que (A+B) es simétrica es muy fácil puesto que

       
      (A+B)' = A`+B` (porque la suma de traspuestas es la traspuesta) y ahora

      A`+B`=A+B, ya que A y B son simétricas.

      2)

      3) Si A tiene inversa A-1, entonces (A`)-1=(A-1)` por las propiedades de la traspuesta pero como A'=A entonces (A-1)=(A-1)'


       
       

      D) MATRICES ANTISIMÉTRICAS


    Definición: Matriz antisimétrica.

    Sea A una matriz de orden n, diremos que A=(aij) es ANTISIMÉTRICA si

    aij = -aji , para todo i,j=1,...,n; es decir A=-A`
     

    Ejercicio II-39.

    Comprobar que las matrices

    son antisimétricas.
     

    Ejercicio II-40.

    A partir de las dos matrices anteriores comprobar que se verifican las siguentes propiedades para las matrices antisimétricas:

    1) A+B es antisimétrica.
    2)  es antisimétrica 
    3) Si A.B=B.A entonces A.B es simétrica. En cambio esto no es cierto si A y B no conmutan en el producto.(para este caso considerar dos matrices para las cuales se verifique A.B=BA como pueden ser las matrices:
     
      4) Si A es invertible entonces su inversa A-1 es antisimétrica.
     


     

    E) MATRICES ORTOGONALES


    Definición: Matriz ortogonal

    Decimos que A matriz cuadrada de orden n, es ORTOGONAL si se verifica que

    (A.A`)(A`.A)=In

    o lo que es lo mismo, que las columnas de la matriz A son vectores ortogonales dos a dos y de módulo 1.
     
     

    Ejercicio II-41

    Comprobar si las siguientes matrices son o no ortogonales:
     


     

    Ejercicio II-42

    Dadas dos matrices ortogonales del ejercicio anterior (llamemóslas A y B) y luego demostrar que se verifican las siguientes propiedades:
     

    1) A.B y B.A son matrices ortogonales.
    2) En general A+B y a A NO SON ortogonales.
    3) Si A es ortogonal y es invertible entoces A-1=At
     
     

    Demostrar las propiedades 1) y 2) de forma genérica es sumamente sencillo, basta considerar las propiedades de las matrices traspuestas y la definición de matriz ortogonal.

    Tenemos que demostrar que (A.B).(A.B)`=Identidad. Para ello consideremos este producto

    (A.B)(A.B)'=A.B.B'.A' (por la propiedad del producto de traspuestas)

    A.(B.B').A' = A.I.A' = A.A' = I (pues B.B' = I; A.A'=I por ser ortogonales)
     
     


     
     
    F) MATRICES IDEMPOTENTES
    Definición de matriz idempotente:

    Decimos que una matriz cuadradad A de orden n es IDEMPOTENTE si y sólo si se verifica que A.A=A, es decir A2=A.
     

    Ejercicio II-43.

    Comprobar que las siguientes matrices cuadradas son IDEMPOTENTES:
     

    Ejercicio II-44.

    Comprobar utilizando las matrices B y C del apartado anterior que se verifican las siguientes propiedades:
     

    1) B.C es idempotente (únicamente si B.C=C.B)

    2) I3-B es idempotente, aunque B-I3 no lo es en general.
     

    Para la primera propiedad, buscar dos matrices idempotentes D y E tales que D.E=E.D (de orden 3) y comprobar que efectivamente D.E es idempotente.
     


     

    G) MATRICES NILPOTENTES
     

    Definición: Matriz nilpotente

      Decimos que una matriz cuadrada A de orden n es NILPOTENTE si y sólo si se verifica que A.A=0n, es decir A2=0n. (MATRIZ NULA)
    Ejercicio II-45
       
      Determinar cuales de las siguientes matrices son NILPOTENTES


       

    Ejercicio II-46.
       
      Comprobar con las matrices nilpotentes obtenidas en el ejercicio anterior, que si A es una matriz nilpotentes entonces se verifican que (I3-A) es invertible y que su inversa es (In-A)-1=In+A

      Una demostración formal del resultado anterior sería la siguiente:

      (In-A)(In+A) = In2+A-A-A2=In2-A2=In-O=In

      Por tanto tenemos que (In+A) es la inversa de (In-A).
       


       

      H) MATRICES UNIPOTENTES


    Definición: Matriz unipotente.

    Decimos que una matriz cuadrada A de orden n es UNIPOTENTE si y sólo si se verifica que A.A=In, es decir A2=In. (MATRIZ IDENTIDAD)
     

    Ejercicio II-47.

    Determinar cuales de las siguientes matrices son unipotentes:
     

    Ejercicio II-48.

    Comprobar con las matrices que anteriores que sean unipotentes, que

    el rango de toda matriz unipotentes es máximo,y por lo tanto siempre existe inversa. Además A-1=A.
     

    Una demostración formal de lo anterior es trivial ya que si A es unipotente A.A=I, lo cual quiere decir que la inversa de A es A, y por tanto siempre existe la matriz inversa de una matriz unipotentes y en consecuencia su rango es máximo
     
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