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III.2. DETEMINANTES.
 
 



Dada una matriz cuadrada cualquiera AÎ Mn, el DETERMINANTE es una operación que se realiza sobre matrices cuadradas cuyo resultado es un número real. Para entender su definición consideremos previamente algunos conceptos:
 
 

  1. PERMUTACIÓN DE UN CONJUNTO DE N DATOS.

  2.  

     

    Consideremos un ejemplo concreto. Sean 3 números cualesquiera, {1,2,3}, se entiende por permutación de esos 3 números a las distintas formas que tenemos de ordenar ese conjunto. De esta forma podemos decir que este conjunto tiene las siguientes permutaciones:

    {1,2,3}, {1,3,2},{2,3,1}, {2,1,3}, {3,1,2}, {3,2,1}

    es decir un total de 6 permutaciones, número que coincide con 3!

    En general si tenemos un total de n-elementos y deseamos obtener todas las permutaciones que podemos obtener al ordenar esos n-elementos, podremos conseguir un total de n! permutaciones.
     
     

  3. TRASPOSICIÓN DE UNA PERMUTACIÓN.
Una trasposición de una permutación es el cambio de orden entre dos elementos de una permutación, así por ejemplo si pasamos de la permutación

{1,3,2} a la permutación {1,2,3} hemos realizado una trasposición pues hemos intercambiado los lugares del 2 y 3.

En este terreno suele resultar conveniente obtener el número de trasposiciones necesarios para reordenar una permutación cualquiera y transformarla en la permutación inicial {1,2,....,n}

Por ejemplo

La siguientes permutaciones requieren los siguientes cambios:

{3,2,1} -> {1,2,3} (1 sóla trasposición)

{2,3,1} -> {1,3,2} (cambio 1 por 2) -> {1,2,3} (el 2 por el 3) (2 trasposiciones)
 

A partir de estos conceptos la definición de determinante es la siguiente:
 

Definición DETERMINANTE de una Matriz cuadrada

Sea A una matriz cuadradad de orden n, se define el determinante de A y se suele denotar por |A| o bien det(A) a la suma de los n! productos (signados) formados por n-factores que se obtienen al multiplicar n-elementos de la matriz de tal forma que cada producto contenga un solo elemento de cada fila y columna de A.

De forma analítica:

donde:

(j1,j2,...,jn) es una de las n! permutaciones del conjunto {1,2,....,n}

sk es el número de trasposiciones requeridos para reordenar la permutación {j1,j2,...,jn} en el orden de {1,2,...,n}
 


a) Determinante de matrices de orden 2.

Veamos un ejemplo en las matrices de orden 2.

Definamos en DERIVE la matriz genérica A1:
 

¿cuál será su determinante?

las permutaciones a considerar son

{1,2} con 0 trasposiciones

{2,1} con 1 trasposición

por tanto el sumatorio sería
 


De donde obtenemos la regla de determinantes para matrices de orden 2.

Según esto si tenemos las matrices
 

sus determinantes se obtienen editando las operaciones siguientes:

El de B1

El de B2
 
El de B3
 
y el de B4
 


Ejercicio III-3.

Calcular el determinante de las matrices siguientes

Ejercicio III-4

Determinar el valor que ha de tomar a para que el determinante de la siguiente matriz sea 35
 

  1. Determinante de matrices de orden 3.

  2.  

     

    Consideremos la siguiente matriz genérica
     

    Si intentamos estudiar ahora la definición del determinante de esta matriz, tendremos que estudiar en primer lugar las permutaciones posibles de 3 elementos así como sus trasposiciones, y tendremos

    {1,2,3} inversiones =0

    {1,3,2} inversiones = 1

    {3,2,1} inversiones = 1

    {3,1,2} inversiones = 2

    {2,1,3} inversiones = 1

    {2,3,1} inversiones = 2
     

    En consecuencia según la definición de determinante:
     
     

Ejemplo III-5
    Calcular el determinante de las siguientes matrices de orden 3
     
    ¿Existiría alguna forma de automatizar el cálculo de determinantes de orden 2 y orden 3?

    Una posibilidad sería programando una función en DERIVE que implemente la REGLA DE SARRUS y la regla que calcula el determinante de orden 2 DETERMINANTE_2. Comencemos automatizando el cálculo de determinantes de orden dos.

    Para ello editaremos la siguientes expresión:
     


    y obtenemos
     

    luego a partir de esta definición podremos calcular el determinante de cualquier matriz de orden 2, por ejemplo si tenemos definida la matriz
     
    para calcular su determinante bastará utilizar nuestra definición
     
    y obtenemos así  el resultado.
Ejercicio III-6.
     
    ¿Serías capaz de definir una función en DERIVE con el nombre "regla_sarrus(m)" que calcula el determinante de matrices M de orden 3?

    Defínela y comprueba que el cálculo es correcto efectuando el cálculo de los determinantes de las matrices del ejercicio II-5.

    Solución:

    La definición de la función dicha puede hacerse de la siguiente forma:

    Primero definir una función que calcula los productos positivos:


    Luego los productos negativos:


    Y luego la función regla_sarrus que se define como

    O bien definir la última toda de golpe, es decir


     

  1. Desarrollo de un determinante por los ADJUNTOS de una línea.
Un método general para calcular determinantes consiste en desarrollar el mismo por los ADJUNTOS de una línea. Para poder explicar este método vamos a introducir dos conceptos necesarios: MENOR COMPLEMENTARIO de un elemento dado, y ADJUNTO O COFACTOR de un elemento.
 
 


MENOR COMPLEMENTARIO.

Comencemos definiendo el concepto.

Se define el MENOR COMPLEMENTARIO del elemento aij de la matriz A (para todo i,j=1,,n); al determinante de la submatriz Mij de orden n-1 que se obtiene eliminando de A la fila i-ésima y la columna j-ésima, es decir

Si la matriz A viene dada por


 
 
 

Entonces el menor complementario de aij es el siguiente determinante: |Mij|.
 

¿cómo se realiza esto en DERIVE?

Construyendo las matrices necesarias por eliminación de FILAS o eliminación de COLUMNAS.
 
 

COMANDOS DE DERIVE NECESARIOS:

Para poder construir estas matrices haremos uso de dos comandos básicos de DERIVE:

Si tenemos definida la matriz


Y efectuamos la operación


Obtenemos como se ve una matriz, eliminando la segunda fila de la matriz A.

Tendremos que utilizar el comando DELETE_ELEMENT(Matriz`,num-col)`

Así por ejemplo si deseamos borrar de la matriz anterior A la tercera columna efectuaremos

Con estas dos operaciones resultaría sencillo obtener una matriz a partir de otra, eliminando la fila i-ésima y la columna j-ésima:
 

Ejercicio III-7.

Dada la matriz

obtener las siguientes submatrices utilizando las operaciones anteriores:
 
M13; M23; M44.


SOLUCIÓN:

Primero editaremos la matriz A
 

A continuación procedemos al calculo de las tres submatrices de la siguiente forma:
M13 se obtendrá de la siguiente forma:
M23 se obtendrá de la siguiente forma:
Y por último
M44 resulta de:


Este procedimiento se podría automatizar en DERIVE construyendo una función que tomase como dato una matriz, el número de fila y columna a borrar y devolviese la matriz deseada.

¿Serías capaz de definir una función de este tipo?

Observa que una posible definición sería la siguiente


(Guardaremos el procedimiento en el fichero DETERM.MTH)

Con este procedimiento tenemos el método para obtener la submatriz, pero nos faltaba obtener el MENOR COMPLEMENTARIO. Vamos a realizarlo con esta última matriz, ya que sus menores son de orden tres y ya hemos diseñado una función que permite calcular determinantes de matrices de orden 3 por la regla de Sarrus:
 
 

Ejercicio III-8

Calcular los menores complementarios siguientes de la matriz A definida en el ejercicio III-7:

|M12 |,|M13|,| M23 |,|M44|
 

SOLUCIÓN:

Recuperemos en primer lugar la definición de la regla de Sarrus y la función que borra una fila y columna determinada, guardadas en el fichero DETERM.MTH (Transfer-Load-Utility A:determ), con lo cual estas funciones quedan cargadas en memoria.

Entonces según esto efectuamos
 

Los valores obtenidos son los menores complementarios que deseábamos.


ADJUNTO O COFACTOR

El segundo elemento que tenemos que definir es el ADJUNTO o COFACTOR del elemento aij de una matriz A y se suele denotar por Aij. Se define como
 

Aij =(-1)i+j |Mij|
Ejemplo.

Si tenemos la matriz definida en DERIVE,
 

y queremos calcular el adjunto de a13, primero calcularemos el menor complementario, es decir |M13|, que en este caso por ser una matriz de 4x4 resulta ser calculable con la regla de Sarrus, es decir del cálculo:


Luego |M13|=-50

Como (-1)1+3 = (-1)4=1, entonces A13=(-50)
 
 

Ejercicio III-9.

Consideremos la matriz
 

Obtener los adjuntos o cofactores siguientes:
B22,B13 y B34.

SOLUCIÓN:
 


 

A partir de la definición del ADJUNTO o COFACTOR podemos definir el cálculo de determinantes por medio de los adjuntos de una línea:
 


DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ADJUNTOS DE UNA LÍNEA.

Si A es una matriz de orden n, se puede comprobar a partir de la definición del DETERMINANTE que el determinante de A se puede obtener de dos formas:
 
 

  1. DESARROLLANDO LOS ADJUNTOS DE UNA FILA I-ÉSIMA

  2. (Aij son los adjuntos de los elementos de la fila i-ésima)
     

  3. DESARROLLANDO LOS ADJUNTOS DE LA COLUMNA J-ÉSIMA
(Aij son los adjuntos de los elementos de la columna j-ésima) Así el cálculo de un determinante de orden n se reduce a calcular n-determinantes de orden n-1.
 
 

EJEMPLO:

Dada la matriz
 

Calcular el determinante de A desarrollando por los elementos de la primera fila.
 
 

Para resolverlo tendremos que sumar los siguientes valores:
 

En cuyo caso obtenemos al simplificar
 
Que será el valor del determinante de a.

OBSÉRVESE que en este caso hemos podido resolver porque los menores son de orden tres.
 
 

¿Cómo se realizaría si deseamos desarrollar por los adjuntos de la segunda columna?

Tendríamos que efectuar:
 

Que al simplificar nos da evidentemente lo mismo:


Ejercicio III-10

Calcular el determinante de las siguientes matrices utilizando la técnica utilizada anteriormente.


 
 
 

Hasta ahora hemos calculado determinantes de matrices de orden 3, pero este procedimiento sería posible realizarlo sobre matrices de un orden cualquiera. Veamos como proceder en esos casos.

EJEMPLO

Sea la matriz
 

Si desarrollamos por los adjuntos de la primera fila tendríamos que calcular determinantes de matrices de orden cuatro. Para dejar esto indicado definimos una función genérica llamada determinante:
 


Ahora tendríamos que calcular los siguientes sumandos:
 

Corresponde al primer elemento de la fila,
 
El segundo elemento de la fila;
 
sería el tercero;
 
sería el cuarto elemento, y por último
 
qie es el quinto elemento.
 
Con este resultado ahora tendríamos que calcular cuatro determinantes:
 


Y


Para calcular cada uno de ellos ahora sí podríamos aplicar la regla de Sarrus, así tendríamos que efectuar los siguientes cálculos:

Definamos las cuatro matrices con un nombre para facilitar los cálculos, así definamos:
 

Ahora calculemos los determinantes de estas matrices nuevamente por el desarrollo de los elementos de una línea.

Para la matriz a11, desarrollaremos por los elementos de la primera fila:
 

Para la matriz a12, desarrollaremos por los elementos de la primera columna:
 
Para la matriz a14, desarrollaremos por los elementos de la segunda columna
 
Y para la matriz a15, desarrollaremos igualmente por los elementos de la segunda columna
 
Con los valores obtenidos ya estamos en disposición de obtener el determinante de A:
 


Luego |A|=1953.
 
 

Ejercicio III-11.

Utilizando el método anterior y cargando previamente el fichero de utilidades DETERM.MTH , se pide calcular el determinante de la siguiente matriz:

OBSERVACIÓN

Si A es una matriz cuadrada triangular (superior o inferior) de un orden n, el determinante de la matriz se obtiene de forma sencilla:

es decir, es el producto de los elementos de la diagonal principal.
 
 

EJEMPLO:

Sea la matriz
 

Si desarrollamos por los adjuntos de la primera columna tendremos
 
Ahora si este determinante le desarrollamos nuevamente por los adjuntos de la primera columna tendremos:
 
Para calcular el último determinante, desarrollamos por los elementos de la primera columna tendremos:
 
Y ahora desarrollando nuevamente por los elementos de la primera columna tenemos
 

 

Ejercicio III-12.

Calcular los determinantes de las siguientes matrices:
 


 

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