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IV.1. SISTEMAS DE ECUACIONES: GENERALIDADES



DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Existen numerosos modelos económicos que suelen utilizar sistemas de ecuaciones lineales. Este hecho convierte a los sistemas de ecuaciones lineales en uno de los modelos matemáticos centrales de la economías.

Para el estudio de estos sistemas tenemos que distinguir tres partes fundamentales:

  1. FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO
  2. DISCUSIÓN DEL SISTEMA
  3. RESOLUCIÓN DEL SISTEMA.
Estas son las tres fases que suelen plantearse en un sistema de ecuaciones lineales. Pero antes de comentar estas fases vamos a dar algunas generalidades de lo que se entiende por un sistema lineal. EJEMPLO.
Planteemos los siguientes sistemas de ecuaciones:
¿Son sistemas de ecuaciones lineales en las variables x e y?

Como puede observarse el primero y segundo no son sistemas de ecuaciones lineales en las incógnitas x e y, por el contrario el tercer sistema es lineal en las incógnitas x e y actuando t como parámetro del sistema.

Esta visión de los sistemas de ecuaciones lineales, nos obliga a definir que se entiende por un sistema de ecuaciones lineales:
 

DEFINICIÓN (Sistema de ecuaciones lineales)

Diremos que un sistema de ecuaciones es LINEAL en las variables x1,x2,x3,.... si todas las ecuaciones que lo forman son lineales respecto a x1,x2,x3,... es decir son de la forma a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b

donde a1,a2,...,an,b son números reales o bien son funciones dependientes de otras variables que no son x1,x2,...,xn.
 


FORMAS DE PRESENTAR UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

EJEMPLO.

 
Dadas las siguientes expresiones:
Por otro lado
Y por último
 
¿Representan las tres expresiones el mismo sistema?
 

Es evidente que sí, pues si simplificamos la primera expresión se obtiene
 

Si simplificamos la expresión 2 se obtiene
 
Y simplificando la tercera se se obtiene
 


Estas formas de representar los sistemas reciben los siguientes nombres:

  1. EN FORMA DE ECUACIONES:

  2.  

     

    Es la notación estandar:

    .a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn=b1

    .a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn=b2

    .................................................

    .am1x1+am2x2+am3x3+...+amnxn=bm
     
     

    En  DERIVE suele expresarse de la forma:

            [ecuación 1, ecuación 2,....., ecuación m]

    Como veíamos en el ejemplo anterior:


     
     

  3. EN FORMA MATRICIAL

  4.  

     

    La forma matricial de los sistemas supone expresar el sistema de la forma:
     

        A x=b


    Siendo A la matriz de orden mxn MATRIZ DE COEFICIENTES
     

      x el vector de incógnitas de Rn
      b el vector de términos independientes de Rm


    es decir


    Un cuarto elemento que hay que considerar es la denominada MATRIZ AMPLIADA DEL SISTEMA
     


    Obsérvese que en el ejemplo anterior

    La matriz asociada del sistema es la matriz:
     

    El vector de incógnitas:
     
    El vector de términos independientes:
     
    Y la matriz ampliada que sería
     

       
  5. EN FORMA VECTORIAL
La forma vectorial de un sistema es la que considera los vectores columna, de la siguiente forma:
 


o dicho de otra forma
 


En nuestro ejemplo concreto tendríamos que
 


EJERCICIO IV-1

Espresar los siguientes sistemas en forma matricial y forma vectorial. Construyendo en el caso matricial la matriz ampliada.


 
 
 


CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar atendiendo a dos criterios fundamentales:

  1. según como sea el TÉRMINO INDEPENDIENTE:
Atendiendo a este criterio los sistemas se pueden clasificar en ; ; siendo 
 
  1. según LA EXISTENCIA o no de SOLUCIONES
Atendiendo a este criterio los sistemas se pueden clasificar en: EJERCICIO IV-2

Clasificar los sistemas lineales del ejercicio anterior atendiendo al término independiente.
 
 


SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.
 

EJEMPLO.

Consideremos el siguiente sistema:

Determinar si los vectores (29/9, -2/9,0) y (14/9,4/9,1) satisfacen las ecuaciones del sistema:
 
Definimos en DERIVE el sistema

Y ahora sustituimos en el sistema x,y,z por los valores correspondientes con la ayuda de MANAGE-SUBSTITUTE.
 

Resultando una identidad.
 

Otra opción para efectuar esta comprobación consistiría en construir la forma matricial del sistema, definiendo entonces la matriz de coeficientes:
 

Definir los posibles vectores solución, como vectores columna:
 
Y comprobar si satisfacen las ecuaciones, observese que
 

Luego el primer vector sí satisface el sistema. Por el contrario, el segundo no lo satisface pues
 
 

Según esto podemos definir el concepto de SOLUCIÓN como
 
 

DEFINICIÓN (Solución de un sistema)

Sea un sistema de ecuaciones lineales  siendo A una matriz de orden mxn,  el vector de incógnita de Rn, y  el vector de términos independientes del sistema.

Diremos que el vector  es solución del sistema si verifica que


 
 

Ejemplo.

Consideremos los siguientes sistemas lineales:

A3.x4 = b4
A4.x4=b4
A5.x4=b4
A6.x4=b4


Siendo las matrices de coeficientes:
 


El vector de incógnitas:
 


Y los vectores de términos independientes:

b3:=[[3,-3,4]]`
b4:=[[3,4,-3]]`
b5:=[[3,-6,4]]`
b6:=[[3,-3,1]]`


¿El vector (5,4,-10) es solución de alguno de los cuatro sistemas?

Si definimos este nuevo vector, como

Podemos comprobar que es solución de los cuatro sistemas pues:

Del primero es solución pues

Del segundo también pues:
Del tercero también:
Y lo mismo sucede con el cuarto:
 


¿Cómo es posible?

¿Qué relación guardan estos sistemas para que el mismo vector sea solución de los cuatro?

La respuesta a esta cuestión puede plantearse en la siguiente observación:

OBSERVACIÓN

Si  es solución del sistema de ecuaciones  entonces también lo es de un sistema tal que:

  1. permuta el orden de dos ecuaciones
  2. multiplica una ecuación por un escalar no nulo
  3. sustituye una ecuación cualquiera por una combinación lineal de esta con otras.
En este caso diríamos que hemos obtenido sistemas equivalentes al inicial.
 
Obsérvese que en nuestro ejemplo si partimos como sistema inicial al sistema dado por
A3.x4=b3
El sistema A4.x4=b4 es idéntico al anterior salvo un cambio de orden entre las ecuaciones segunda y tercera.

El sistema A5.x4=b5, es idéntico al inicial, salvo que ha multiplicado la segunda ecuación por 2.

El sistema A6.x4=b6 es idéntico al inicial, salvo que ha sustituido la tercera ecuación por la ecuación resultante de sumar la segunda y la tercera.

Por tanto todos los sistemas son equivalentes, pues tienen el mismo conjunto de soluciones.
 
 

EJERCICIO IV-3
 

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

Cuya única solución viene dada por:

Construir dos sistemas que sean equivalentes al anterior, comprobando asimismo que la solución anterior, lo es también de los sistemas construidos.
 
 
 

Incluimos en este apartado la primera parte de los sistemas, que consiste en la construcción del modelo matemático a partir de una situación real. Este proceso es el proceso de formulación del sistema que permitirá obtener la solución o soluciónes del problema (si es que esta existe).
 


FORMULACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Para introducirnos en la formulación, plantearemos algunos ejemplos de enunciados y sus formulaciones, con los razonamientos que dan lugar a la construcción del sistema lineal.
 
 

EJEMPLO.

Un agente de bolsa debe comprar 1530 acciones entre la empresa Potato y la empresa Pepito; cada acción de Potato cuesta 345 euros y la de la empresa Pepito 875 euro. El agente de bolsa dispone de 874.470 euros ¿Cuántas acciones ha comprado cada empresa?
 
 

PASO 1.

En el proceso de formulación, debemos identificar claramente y en primer lugar cuales son las INCÓGNITAS DEL PROBLEMA.

En este caso:

Llamemos

PASO 2.

Un segundo proceso consiste en introducir las relaciones entre las variables incógnitas del problema:

x+y=1530 PASO 3.

Plantear el sistema que modeliza la situación real, que en nuestro caso se trata de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

X + Y = 1530

345X + 875Y = 874470
 
 

Para resolverlo, bastaría introducir en DERIVE el sistema:


 
 

EJERCICIO IV-4.

Determinar el sistema de ecuaciones lineales que resuelve los siguientes problemas:

  1. Un librero vende 84 libros a dos precios distintos: unos a 4500 ptas y otros a 3600 ptas, obteniendo de la venta 310.500 ptas. ¿Cuántos libros vendió de cada clase?

  2.  

     

    SOLUCIÓN:

    x+y=84

    4500 x + 3600 y =310.5000 à x=9, y=75
     

  3. Un grupo de amigos está jugando a los chinos con monedas de 5 y 25 pesetas. Al abrir las manos cuentan 8 monedas con un valor de 140 ptas. ¿Cuántas monedas hay de cada clase?

  4.  

     

    SOLUCIÓN:

    x+y=8

    5x+25y=140 à x=3 y=5
     

  5. Un orfebre tiene dos lingotes: el primero contiene 540 gramos de oro y 60 gramos de cobre, y el segundo 400 gramos de oro y 100 gramos de cobre. ¿Qué cantidad deberá tomar de cada uno de ellos para formar otro lingote que pese 640 gramos y cuya ley sea 0,825?
SOLUCION:

X + Y = 640

540/60 X + 400/100 Y = 0,825 * 640 à x=160, y=480


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