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IV.5. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS.
 
REGLA DE CRAMER.

A lo largo del curso hemos planteado el método habitual para resolver sistemas, que consiste únicamente en introducir el sistema como un vector de ecuaciones y luego resolver (soLve).

Sin embargo es preciso introducir un método estandar para resolver sistemas compatibles determinados es la llamada REGLA DE CRAMER.

Consideremos a continuación un ejemplo para resolver sistemas usando regla de Cramer.

PROPOSICIÓN (Regla de Cramer)

Dado un sistema lineal de n-ecuaciones y n-incógnitas

tal que  (es decir se trata de un sistema compatible determinado) se verifica que el vector solución del sistema donde 

siendo Bi la matriz que se obtiene a partir de la matriz A, sustituyendo en A la columna i-ésima por el vector de términos independientes, es decir 
 

EJEMPLO.

Resolver el siguiente sistema usando la Regla de Cramer.


Definamos en primer lugar la matriz de coeficientes

Si calculamos su determinante
Resulta que tenemos un sistema compatible determinado con 3 ecuaciones y 3 incógnitas.

Según el método tendremos que ir generando tres submatrices:

A partir de ellas, ya es fácil determinar las incógnitas pues

X1 se obtiene efectuando:

X2 se obtiene efectuando:
X3 resulta de:
Luego la solución es:(x1,x2,x3)=(-1,0,2)
 
 

EJERCICIO IV-15
Resolver utilizando la Regla de Cramer los sistemas:

¿Qué sucede si tenemos un SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO? ¿Podremos utilizar la REGLA DE CRAMER?

La contestación es afirmativa, pero previamente deberemos convertir el sistema en otro sistema equivalente, de tal forma que algunas incógnitas se conviertan en parámetros, a fin de obtener una matriz de coeficientes cuadrada de rango completo. Veamos esto con un ejemplo

EJEMPLO

Sea el siguiente sistema:

Si estudiamos su matriz de coeficientes tenemos
Y su matriz ampliada es
Estudiemos su rango
Por tanto se trata de un sistema compatible indeterminado.

¿Cuál sería el sistema fundamental equivalente?

Si consideramos la submatriz de a2

Su rango es
Por tanto esta submatriz determina el rango.En consecuencia el sistema equivalente contiene tan solo las dos primeras ecuaciones.
¿Qué incógnitas pueden ser parámetros?

Tomemos de un determinante no nulo de C1, por ejemplo las dos primeras columnas

Entonces las variables x1 y x2 quedan como incógnitas y la variable x3 puede pasar como parámetro, tendremos entonces el sistema equivalente
Ahora tenemos un sistema compatible determinado con un parámetro en los términos independientes. Para resolver por Cramer consideremos las matrices

De coeficientes:

Matrices auxiliares Bi
Los valores de x1 y x2 se obtendrán con:

X1:

X2:


(x1,x2) = (2-x3, (x3-1)/3)
 

EJERCICIO IV-16

Resolver el siguiente sistema compatible indeterminado utilizando la REGLA DE CRAMER:


MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

El método de Cramer suele ser bastante tedioso con sistemas de más de 4 ecuaciones, por ello suele ser adecuado intentar obtener un sistema triangular equivalente mediante transformaciones de Gauss-Jordan.

Las transformaciones de Gauss-Jordan admisibles recordemos que consisten en:

A partir de estas transformaciones se puede llegar a sistemas triangulares de la forma:

que evidentemente ya están resueltos.

Para llegar a estos sistemas hemos de realizar transformaciones de Gauss-Jordan. Este proceso se realiza sobre la matriz ampliada de forma similar a lo que hacíamos en el cálculo de la inversa.

EJEMPLO
Construir un sistema diagonal equivalente al sistema
Consideremos las matrices ampliada:


Para obtener la matriz de coeficientes basta eliminar de ésta la última columna:

Podemos comprobar que la hemos definido bien efectuando
Comprobemos que se trata de un sistema compatible:
Luego es un sistema compatible determinado.

¿Cómo aplicar el método de Gauss-Jordan?

Tomamos la matriz ampliada y efectuamos sobre ella transformaciones, por ejemplo

Dejamos la primera fila tal cual

Restamos de la segunda fila dos veces la cuarta

Sumamos a la tercera fila 5 veces la cuarta

Restamos a la cuarta fila 1/5 veces la primera

Eso obtenemos con la siguiente matriz

Multiplicandola por la matriz ma5 y resulta
Así iriamos efectuando productos.

Sin embargo, para automatizar este proceso está definida una función en DERIVE, que efectua este proceso de forma automática. La función que efectúa lo mismo es ROW_REDUCE, que es capaz de transformar una matriz en otra equivalente según transformaciones de Gauss-Jordan.

De esta forma bastaría realizar

Y obtenemos como sistema diagonal equivalente:
Soluciones del sistema.

¿Qué sucede si el sistema es compatible indeterminado?

El proceso se aplica de igual forma, por ejemplo
 

EJEMPLO

Calcular con el método de Gauss-Jordan la solución de


Definimos la matriz ampliada

Si efectuamos el proceso de Gauss-Jordan sobre esta matriz tendremos

Obsérvese que las ecuaciones tercera y cuarta han desaparecido, lo cual quiere decir que eran ecuaciones redundantes respecto de las dos primeras.

Por tanto el sistema equivalente sería:
lo cual quiere decir que tenemos infinitas soluciones que serían de la forma

x1=(8/3)x5-(2/3)x2-(2/3)x4

x3=-3x5

Por tanto el conjunto de soluciones tiene la forma

X1=(8/3) a (2/3) b (2/3) c

X2 = b

X3= -3 a

X4= c

X5= a

Luego las soluciones están generadas por los vectores

{(8/3,0,-3,0,1), (-2/3,1,0,0,0), (-2/3,0,0,1,0)}
 
 

EJERCICIO IV-17

Obtener las soluciones de los siguientes sistemas utilizando el Método de Gauss-Jordan.


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