ACCESOS A: 
Menú del capítulo 
Ejercicios del tema 5.2.
Cuestiones del Capítulo 5
Problemas del Capítulo 5
MENU PRINCIPAL
5.2. PROPIEDADES DE AUTOVALORES
 


En este apartado vamos a estudiar las propiedades que tienen los autovalores de una matriz cuadrada A y en consecuencia los autovalores de la aplicación lineal cuya matriz asociada viene dada por la matriz A.

Para realizar este estudio plantearemos algunos ejemplos previos de los que podamos deducir si es posible las propiedades que tienen los autovalores. A continuación realizaremos una demostración formal de cada una de las propiedades.

PROPIEDAD 1.

Consideremos la siguiente matriz

Si calculamos los autovalores de la misma con DERIVE efectuamos
Por tanto sus autovalores son 1 y 2.

¿Qué sucede con los autovalores de la matriz traspuesta?

Sea su matriz traspuesta

Si calculamos sus autovalores con DERIVE; realizamos
Observamos que son los mismo. ¿Se puede generalizar esta propiedad?

Como una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante entonces resulta que |(A-l I)t|= |A-l I|

Y como |(A-l I)t|=|At-l It|=|A-l I|.

Por tanto una matriz y su traspuesta tienen el mismo polinomio característico en consecuencia se verifica la propiedad:

Propiedad 1.: Los autovalores de una matriz y su matriz traspuesta coinciden.
 


PROPIEDAD 2.
Para examinar esta segunda propiedad consideremos una matriz con autovalores nulos, por ejemplo, consideremos la siguiente matriz

Si calculamos sus autovalores obtenemos que son
Tenemos por tanto UN AUTOVALOR NULO:

Examinemos ahora el rango de dicha matriz. Para ello basta estudiar el determinante de la misma, y observamos que

Como hay un menor no nulo de orden 2, entonces el rango de A2 es 2.

¿Existe alguna relación entre el rango de la matriz y el número de autovalores nulos?

Parece que el número de autovalores no nulos en este caso ha coincidido con el rango, pero la verdadera propiedad es la siguiente

Propiedad 2: El número de autovalores nulos de una matriz cuadrada A de rango r es menor estrictamente que n, o lo que es lo mismo, es mayor o igual que n-r.
 


PROPIEDAD 3.

Consideremos las dos matrices anteriores A1 y A2. Recuérdese que los autovalores de la matriz A1 y A2 eran:

¿Cuál es el autovalor que se repite?

Para obtener esta información no nos queda más remedio que obtener el polinomio característico y factorizar. Para ello consideremos el polinomio característico de A1 que viene dado por

Si ahora factorizamos este polinomio con FACTOR-RADICAL obtenemos
Lo cual quiere decir que tenemos los autovalores -1,2,2

Por tanto ¿Cuánto vale el producto de sus autovalores? -4

¿Cuánto vale el producto de estos autovalores? Es claro que vale 0

Consideremos ahora el DETERMINANTE de ambas matrices:


¿Observas alguna relación entre estos determinantes y los productos de los autovalores de ambas matrices?
 

Propiedad 3: El determinante de una matriz coincide con el producto de los autovalores de la misma.


PROPIEDAD 4.

En esta propiedad vamos a establecer una relación entre la TRAZA de ambas matrices y la suma de los autovalores de la matriz.

Veamoslo por matrices.

PARA LA MATRIZ A1:

La traza de esta matriz es:

Y la suma de sus autovalores (son 1,2,2) claramente es 3.

PARA LA MATRIZ A2:

La traza de esta matriz es:

Y la suma de sus autovalores (son 0,-1,5) claramente es 4.

Esta observación se generaliza en la siguiente

Propiedad: La traza de una matriz coincide con la suma de todos los autovalores de la matriz (considerando los autovalores repetidos).

EJERCICIO V-2.

Calcular el valor que han de tener los parámetros a y b de la siguiente matriz para que tenga como autovalores 1,10, -17.


PROPIEDAD 5

Supongamos que multiplicamos la matriz A1 por una constante, por ejemplo consideremos la matriz A3 como

¿Qué relación guardarán los autovalores de la matriz A1 y la matriz A3=5*A1?

Los autovalores de A1 eran {-1,2}

Calculemos los autovalores de la matriz A3 = 5*A1

Observemos que resultan ser {-5,10} , parece que se han multiplicado por el mismo escalar con el cual multiplicamos la matriz A1.

Para confirmar esta situación podríamos plantear otra matriz por ejemplo, consideremos la matriz

Según esta observación inicial, parece los autovalores de esta nueva matriz A4, deberían de ser {-2,4}

Veamos que esto es cierto, calculando los autovalores de la nueva matriz.

Efectuando

Efectivamente, los autovalores han quedado multiplicados por 2. Podríamos realizar varios cálculos de este estilo. Consideremos para ello la función EIGENVALUES que calcula los autovalores de una matriz cualquiera. Con esta función calculamos:
Todos estos resultados parecen confirmar nuestra conjetura.

Efectivamente esta observación es una propiedad que se concreta de la siguiente forma:

Propiedad 5. Si una matriz A tiene por autovalores l1,...,lr entonces la matriz a A tendrá por autovalores al1,...,alr
 


PROPIEDAD 6

Veamos qué relación guardan los autovalores de una matriz y los autovalores de su inversa si esta existe.

Para ello consideremos una matriz con inversa (es decir con determinante no nulo) como puede serlo la matriz A1 puesto que

Calculemos los autovalores de la inversa
Como los autovalores de a1 eran 1 y 2, parece que los autovalores de la inversa son los inversos de los autovalores iniciales.

Consideremos para ello otra matriz y estudiemos sus autovalores (con la función eigenvalues). Sea la matriz A3, definida antes si estudiamos

Obsérvese que vuelve a verificarse nuestra primera observación.

Podríamos hacer lo mismo con la matriz A4

Nuevamente se verifica.

Por tanto se podría afirmar y demostrar que

Propiedad 6: Si una matriz A tiene inverssa y sus autovalores son l1,...,lr entonces la matriz A-1 tendrá por autovalores 1/l1,...,1/lr


PROPIEDAD 7

¿Qué podríamos afirmar de los autovalores de una potencia natural de una matriz?

Consideremos la matriz A1 y sucesivas potencias suyas y estudiemos sus autovalores:

Como se puede observar los autovalores quedan elevados a las mismas potencias que la matriz. Por tanto podemos afirmar que:

Propiedad 7: Si los autovalores de la matriz A son l1,...,lr entonces la matriz Ak tendrá por autovalores l1k,...,lrk (siendo k un número natural no nulo).


PROPIEDAD 8.
Vamos a analizar en esta propiedad cómo son los autovalores de las matrices

SIMÉTRICAS, TRIANGULARES , IDEMPOTENTES y ORTOGONALES

  1. MATRICES TRIANGULARES

  2.  

     

    Consideremos las siguientes matrices triangulares

    Si calculamos sus autovalores obtenemos
    ¿se observa alguna relación entre los autovalores y las matrices?

    ¿observas alguna relación entre la diagonal principal de las matrices y los autovalores de las mismas?

    ¿podríamos concluir alguna propiedad?

    Efectivamente, las matrices triangulares tienen una gran particularidad en cuanto a sus autovalores LOS AUTOVALORES DE UNA MATRIZ TRIANGULAR SON LOS ELEMENTOS DE LA DIAGONAL PRINCIPAL.

    La prueba de esta propiedad general, es evidente porque la traza de una matriz es la suma de los elementos de la diagonal principal y por otro lado el determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal principal, justamente las dos propiedades que satisfacen los autovalores de las matrices en general.

  3. MATRICES SIMÉTRICAS

  4.  

     

    Consideremos las siguientes matrices simétricas:

    ¿Son simétricas?

    Como puede verse a simple vista son matrices simétricas. Veamos cómo son sus autovalores:

    ¿son todos números reales?

    Consideremos otra matriz simétrica

    Calculesmos sus autovalores, y resulta
    ¿es un número real?

    ¿aparece en algún lado el número imaginario i?

    LOS AUTOVALORES DE LAS MATRICES SIMÉTRICAS SON SIEMPRE NÚMEROS REALES.

  5. MATRICES IDEMPOTENTES

  6.  

     

    Las matrices idempotentes cumplen la siguiente propiedad:

    TODOS LOS AUTOVALORES DE UNA MATRIZ IDEMPOTENTE SON 0 ó 1.

    Una demostración formal de esta propiedad podría ser la siguiente

    Si A es una matriz idempotente, entonces A.A=A. Si l es autovalores de A entonces l2 es autovalor de A2. Pero como A2=A entonces l =l2 y por tanto l2-l =9 luego

    l (l -1)=0 lo cual es cierto si l =1 ó l =0.

     

  7. MATRICES ORTOGONALES
Estudiar cual es el comportamiento de los autovectores de las siguientes matrices
Comprobar que son ortogonales resulta evidente efectuando
Si calculamos su autovalores

Se comprueba fácilmente que sus autovalores son 1 o 1 con lo cual esto nos induce a pensar que los autovalores de una matriz ortogonal son 1 o 1.

Propiedad: Los autovalores de una matriz ortogonal son 1 o 1.

Demostración

Si A es ortogonal entonces A.At=I

En consecuencia si l es autovalor de A también lo es de At. Pero como A es ortogonal entonces At=A-1, por tanto 1/l es el autovalor de At. En consecuencia l =1/l , es decir l2=1, y por tanto l =± 1.

Con esto tendríamos estudiadas las principales propiedades de los autovalores.

Ir a EJERCICIOS de PROPIEDADES DE AUTOVALORES.
VOLVER AL MENÚ PRINCIPAL DEL CAPÍTULO