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5.3. PROPIEDADES DE LOS AUTOVECTORES.
 
El objetivo de este apartado consiste en detectar las propiedades que cumplen los autovectores de una matriz respecto de las principales operaciones que se realizan con matrices. También estudiaremos algunas propiedades FUNDAMENTALES que cumplen los autovectores asociados al autovalor de una matriz, para ello iremos planteando algunos ejemplos sobre los cuales estudiaremos sus autovalores y sus autovectores respecto de las operaciones que se plantean para conjeturar la propiedad y luego a continuación enunciaremos las propiedades generales que se cumplen y que deberían demostrarse de manera formal, por supuesto sin el uso del programa DERIVE; que nos sirve para realizar conjeturas e hipótesis, pero que luego deben ser probadas por nosotros mismos.

  1. PROPIEDADES DE LOS AUTOVECTORES RESPECTO DE LAS PRINCIPALES OPERACIONES CON MATRICES.
Consideremos la matriz A1 dada por Sus autovalores se obtienen editando la ecuación que al simplificar nos dan la ecuación y con soLve obtenemos También podríamos haber utilizado la operación definida en DERIVE que calcula directamente los autovalores de una matriz con Respecto de esta matriz, ¿cuáles son sus autovectores?

Para el autovalor w=0, tendremos que los autovalores resultan de resolver la ecuación matricial

que al simplificar nos da el sistema de ecuaciones y al resolver se obtiene Luego los autovectores asociados a 0, son de la forma
  Para el autovalor w=1 efectuamos el mismo procedimiento:
  luego
 


Hacemos lo mismo para w=3 y resulta

Luego
 


Así pues resumiendo la matriz A1 tiene por autovalores y autovectores

w=0 con autovectores de la forma (a,a,a)

w=1 con autovectores de la forma (a,0,-a)

w=3 con autovectores de la forma (a,-2 a,a)

¿Cómo serán los autovectores de las matrices

a A1, A1-1, A1t, A1k?
 
 

PROPIEDAD 1.

Consideremos la matriz B1 definida por

es decir B1 es de la forma
¿Cuáles son los autovalores de esta nueva matriz?

Ya vimos en el apartado anterior que si B1 = 3* A1 y sabemos que los autovalores de A1 son 0,1,3, entonces los autovalores de B1 serán 0, 3, 9. Lo podemos comprobar fácilmente:
 

¿Ocurrirá lo mismo con sus autovectores?

Vamos a calcularlos.

Para el autovalor w=0, efectuamos
 

¿cómo eran los autovectores asociados a w=0 de la matriz A1?

Eran de la forma (a,a,a), es decir son los mismos autovectores que los de la matriz 3*A1


Para el autovalor w=3, realizamos

¿cómo eran los autovectores asociados a w=1 de la matriz A1?

Eran de la forma (a,0,-a), es decir son los mismos autovectores que los de la matriz 3*A1

Por último para el autovalor w=9

¿cómo eran los autovectores asociados a w=9 de la matriz A1?

Eran de la forma (a,-2a,a), es decir son los mismos autovectores que los de la matriz 3*A1
 
 

PROPIEDAD 2.

¿La matriz A1 tiene inversa?

Estudiamos su determinante y resulta

Consideremos por tanto otra matriz con inversa:
Sus autovalores son
Los autovectores se obtienen efectuando el proceso anterior.

Para el autovalor w=1:

Los autovectores son de la forma (a,4a,0)

Para el autovalor w=2:

de la forma (a,5 a, 5 a/2)

Y por último para w=-3

es decir son de la forma (a,0,0)

La inversa de esta matriz se obtiene fácilmente efectuando por ejemplo el proceso de Gauss-Jordan, que queda implementado en DERIVE mediante la función ROW_REDUCE(A,identity_matrix(n)), en este caso con
 

Por tanto sea B2 la matriz
 
¿Cómo son los autovalores de la inversa?

Ya vimos en el apartado anterior que si una matriz tiene inversa sus autovalores son los inversos de los autovalores de la matriz inicial. En nuestro caso tienen que ser

w= 1/1, w=1/2, w=-1/3

esto se comprueba fácilmente pues
 


¿Cómo son sus autovectores?

Para el autovalor w=1
 

los autovectores son de la forma (a,4a,0) idénticos a los de A2 con autovalor 1. Para el autovalor w=1/2
  sus autovectores son de la forma (a, 5 a, 5 a/2) idénticos a los del autovalor 2 para A2.

Y por último para el autovalor -1/3
 

Nuevamente los autovectores son de la forma (a,0,0) equivalentes a los de la matriz A2 para el autovalor -3.

¿Qué conclusión podríamos obtener?

Que los autovectores de una matriz y su inversa coinciden.
 
 

PROPIEDAD 3:

Por último vamos a ver la relación que guardan los autovectores de la matriz A2 con sus sucesivas potencias.

Consideremos dos de las potencias de A2, por ejemplo, definiamos las matrices B3 y B4 como

Obsérvese la relación que guardan sus autovalores, como ya estudiamos en la sección anterior:
 
¿Qué relación guardan sus autovectores?

Los autovectores de A2 asociados al autovalor w=1 eran (a,4,0), obsérvese que coinciden con los de B3 y B4:

B3:

B4:

¿Son los mismos que los de A2 con respecto a w=1?

Claramente sí.

Los autovectores de A2 asociados al autovalor w=2 eran (a,5 a, 5 a/2), obsérvese que coinciden con los de B3 y B4 para los autovalores 4 y 8 respectivamente:
 


Por último veamos que también coinciden los de A2 para el autovalor w=-3 con los de B3 para w=9 y B4 para w=-27:
 

PROPIEDAD 4.

Veamos ahora la relación que guardan los autovectores de la traspuesta de una matriz.

Consideremos la traspuesta de A2. Obsérvese que los autovalores coincidían:

¿Qué relación guardan los autovectores?

Para el autovalor w=1

Los autovectores de A2 son:

es decir de la forma (a,4 a, 0)

Y los de A2`son:

es decir de la forma (0,a,-2 a)

Totalmente distintos.

Para el autovalor w= 2

Los autovectores de A2 se obtienen con:

es decir de la forma (a, 5 a , 5 a/2)

Y los de A2`se obtienen con:

De la forma (0,0,a) nuevamente distintos.

Por último los autovectores para el autovalor w=-3

Para A2 se obtienen con:

y son por tanto de la forma (a,0,0)

Para A2`se obtienen con:

son por tanto de la forma (a,-a/4,a/10).

Luego no coinciden.

De todas las observaciones anteriores se podría enunciar la siguiente proposición:
 
 

PROPOSICIÓN
Sea A una matriz de orden n, sean w1,w2,...,wn sus autovalores, y sean  sus autovectores asociados. Entonces si consideramos que  es el autovector asociado a wi de A:

  1. será el autovector asociado al autovalor a wi de a A
  2. será autovector asociado al autovalor 1/wi de A-1 (si existe)
  3. será autovector asociado al autovalor wik de Ak
  4. Los autovectores de At no coinciden con los de A.
EJERCICIO V-3.

Dada la matriz:

Utilizando el MENOR NÚMERO DE CÁLCULOS POSIBLE, obtener los autovalores y autovectores de las matrices:

  1. OTRAS PROPIEDADES DE LOS AUTOVECTORES.
Vamos a comprobar a continuación que se verifican otras propiedades sobre autovalores, relacionadas con el tipo de matriz y con la independencia lineal.


PROPIEDAD 5. (INDEPENDENCIA LINEAL)

Consideremos la matriz A4 del ejercicio anterior:

Sus autovalores son:
Si calculamos sus autovectores obtenemos:

Para el autovalor w=1:

los autovectores son de la forma (a,0,0) (con a no nulo)

Para el autovalor w=2

es decir son de la forma (a,0,a/3) (con a no nulo)

Y para el autovalor w=-1

es decir son (a,2 a/3, -10 a/3) (con a no nulo)

¿Los autovectores obtenidos, (a,2 a/3, -10 a/3), (a, 0, a/3) y (a,0,0) como son LI. o LD?

Planteemos para ello la matriz que toma por columna estos autovectores

¿cuál es su determinante?
que claramente es no nulo si a es no nulo (condición previa para garantizar que los vectores dados eran autovectores de la matriz A4.

Así pues parece que los autovectores correspondientes a autovalores DISTINTOS son l.i. Propiedad que se puede generalizar.

Los autovectores de una matriz correspondientes a autovalores distintos son siempre linealmente independientes.

Antes de continuar observando más propiedades conviene hacer referencia a dos términos que se suelen utilizar con bastante frecuencia con el cálculo de autovalores y autovectores.

ORDEN DE MULTIPLICIDAD ARITMÉTICO

Se define el orden de multiplicidad aritmético de un autovalor al número de veces que se repite dicho autovalor.

EJEMPLO

Sea por ejemplo la matriz

Si calculamos sus autovalores obtenemos
¿Pero cual es el autovalor que se repite el 0 o el 2?

Para desvelar esta incógnica, es conveniente estudiar el polinomio característico, que se obtiene con

según el polinomio característico ya podemos deducir que

w=0 es una raiz simple del mismo

w=2 es una raiz doble del polinomio

Por tanto podemos decir que los autovalores son

w=0 con orden de multiplicidad aritmético 1

w=2 con orden de multiplicidad aritmético 2

ORDEN DE MULTIPLICIDAD GEOMÉTRICO.

Dada una matriz A y un autovalor suyo se define el orden de multiplicidad geométrico a la dimensión del subespacio de los autovectores asociados a dicho autovalor es decir

O.M. Geométrico (wi) = dim(V(l =wi))
siendo 

EJEMPLO:

 Siguiendo con el ejemplo de la matriz A5, veamos a continuación la dimensión de los subespacio de autovectores asociados a los autovalores w=0 y w=2.

Para w=0, efectuamos:

de donde se deduce que
por tanto el orden de multiplicidad geométrico del autovalor w=0 es 1.

Para w=2, efectuamos

de donde deducimos que


por tanto el orden de multiplicidad geométrico del autovalor w=2 es 2.
 

EJERCICIO V-4

Obtener el orden de multiplicidad aritmético y geométrico de los autovalores de la siguiente matriz:

Como podemos haber observado en el ejercicio anterior, no siempre coincide el orden de multiplicidad aritmético con el orden de multiplicidad geométrico. Sin embargo sí podemos establecer una relación que se verifica siempre y que mostramos en la siguientes propiedad:
 

PROPIEDAD 6.

Sea A una matriz de orden n, y sea w uno de sus autovalores.

Veamos ahora algunas propiedades que tienen los AUTOVECTORES de ciertas matrices especiales

Comencemos con las matrices SIMÉTRICAS:

i) Si A es una matriz simétrica se verifica:

Para comprobar esta propiedad vamos a considerar una matriz simétrica
Sus autovalores resultan de efectuar
Observese que claramente los ordenes de multiplicidad aritmética son 1 en cada uno de los tres autovalores. Veamos como son los subespacios de autovectores asociados:

Para el autovalor w=0 realizamos

Por tanto
Para el autovalor w=2, mediante
Resulta que
Y para el autovalor w=y, efectuando
Se obtiene que


Obsérvese que según lo que hemos obtenido el orden de multiplicidad geométrico de todos los autovalores es uno, coincidente con el orden de multiplidad aritmético.

Por otro lado, podemos comprobar que los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales. Obsérvese que los autovectores son de la forma:

Y es claro que son ortogonales dos a dos pues:
Con esto hemos comprobado, la propiedad, para esta matriz concreta.

Estudiemos las propiedades para MATRICES IDEMPOTENTES:

ii) Si A es IDEMPOTENTE, entonces como sus autovalores son 0 ó 1, se verifica que los órdenes de multiplicidad aritmético y geométrico de los autovalores 0 y 1 coinciden. Es decir,

Si m0=om(0), m1=om(1) entonces

Dim(V(0))=m0 y Dim(V(1))=m1.
 

EJERCICIO V-5
Comprobar que la matriz

  1. ES IDEMPOTENTE
  2. CUMPLE LAS PROPIEDADES ENUNCIADAS EN LA PROPIEDAD ANTERIOR PARA MATRICES IDEMPOTENTES.

 
 
 
 
 

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