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7.2. FUNCIONES CONCAVAS Y CONVEXAS
 

Las funciones cóncavas y convexas representan un papel fundamental en la Teoría de la Optimización ya que pueden garantizarnos la GLOBALIDAD de los óptimos locales. Por ello vamos a iniciar este apartado introduciendo el concepto de función cóncava y convexa para luego más tarde introducir condiciones que nos permitan reconocer si una función es cóncava o convexa dependiendo de sus propiedades de diferenciabilidad.

EJEMPLO.

Consideremos la siguiente función:

Si dibujamos esta función mediante el comando Plot obtenemos
Observemos la gráfica de esta función en el intervalo [0,p ]
Podemos ver que en esta gráfica si dibujamos cualquier segmento que una dos puntos de la misma, éste siempre queda por debajo de la gráfica. Por ejemplo, consideremos los puntos
Si dubujamos el segmento que une dichos puntos en la gráfica obtenemos
qué claramente queda por debajo de la gráfica.

Consideremos otros pares de puntos de la gráfica por ejemplo:

Al dibujar el segmento que une dichos puntos tenemos:

Consideremos otro par de puntos por ejemplo
Si los dibujamos considerando
Obtenemos


Se puede observar que para cualquier par de puntos de la gráfica que toman valores en el segmento considerado el segmento que une dichos puntos siempre queda por debajo de la gráfica por ello podemos efectuar la siguiente definición:

DEFINICIÓN: Funciones estrictamente concavas y concavas
Diremos que una función f es estrictamente concava en un conjunto M convexo si todo segmento que une dos puntos de la gráfica esta estrictamente por debajo de la gráfica.

Diremos que una función es CONCAVA (no estricta) si no todas las cuerdas que unen puntos de la gráfica en dicho intervalo quedan estrictamente por debajo.
 
 

Vamos ahora a introducir el concepto de función CONVEXA.

Consideremos el siguiente ejemplo:

EJEMPLO.

Consideremos la misma función anterior

pero ahora considerada en el intervalo [p ,2p ], en este caso la gráfica sobre la que debemos enfocarnos es:


Consideremos ahora nuevamente varios puntos de esta gráfica en dicho intervalo por ejemplo

si dibujamos el segmento que los une por medio de la matriz
se obtiene
si ahora dibujamos el segmento que une los puntos
obtendremos
Obsérvese que los segmentos quedan siempre por encima de la gráfica de la función.

En estos casos, diremos que la función es convexa en el intervalo dado.

Por ello podemos realizar la siguiente definición:
 

DEFINICION. Función convexa.

Sea f una función definida en un intervalo de R, diremos que dicha función es convexa en el intervalo si todo segmento que une dos puntos de la gráfica queda por encima de la gráfica. Si siempre queda estrictamente por encima decimos que la función es estrictamente convexa.

EJERCICIO VII-5.

Estudiar el carácter de las siguientes funciones en los recintos que se indican:

(a) En toda la recta real:

(b) En toda la recta real:
( C) En el intervalo (0,¥ )
(d) En el intervalo (-¥ ,0)
(e) En el recinto (-¥ ,0)
(f) En el recinto (0,¥ )
SOLUCIONES:
  1. ESTRICTAMENTE CONVEXA

  2. ESTRICTAMENTE CONVEXA

  3. ESTRICTAMENTE CONVEXA

  4. ESTRICTAMENTE CONCAVA

  5. estrictamente CONCAVA

  6. ESTRICTAMENTE CONVEXA


¿Qué ocurre si la función es dificil de representar o bien no es representable (n>2)?

Sería necesaria una definición ANALÍTICA con la cual podamos clasificar en los tipos que acabamos de definir de manera gráfica. Por eso definimos:

DEFINICIÓN (Funciones cóncavas y convexas en un CONVEXO)

Sea M un subconjunto convexo de Rn y sea f:Mà R. Diremos que

  1. f es una función CONVEXA en M si

  2. f es una función ESTRICTAMENTE CONVEXA en M si


  3.  
     

  4. f es una función CONCAVA en M si

  5. f es una función ESTRICTAMENTE CONCAVA en M si
OBSERVACIONES:
  1. No estamos exigiendo condiciones de continuidad y derivabilidad de las funciones.
  2. Nos referimosa concavidad y convexidad sobre conjuntos convexos.
¿Cómo podríamos demostrar por definición que por ejemplo f(x)=x2 es estrictamente convexa en R?

Para hacer esta demostración

Consideremos dos puntos cualesquiera de R, por ejemplo x1,x2 tenemos que demostrar que

f((1-l )x1+l x2) £ (1-l )f(x1)+l f(x2)

((1-l )x1+l x2)2=(1-l )2x12+l2x22+2(1-l )x1lx2

y comparar con

(1-l )x12+l x22


PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONCAVAS Y CONVEXAS.

 
Obsérvese que no es fácil demostrar la concavidad o convexidad de una función por definición. Por ello es necesario, o conveniente disponer de unas condiciones necesarias y condiciones necesarias y suficientes que nos permitan determinar si una función es cóncava o convexa estudiando otros elementos más operativos.

Veamos antes de estas condiciones algunas propiedades previas respecto a ciertas operaciones con funciones.

Consideremos para ello el siguiente ejemplo

EJEMPLO:

Sea la función

Nos podríamos preguntar
  1. ¿es cóncava o convexa en dicho recinto?

  2. En este caso podríamos dibujar la función y centrarnos en el recinto


    Obsérvese que si elegimos dos puntos cualesquiera de la gráfica sobre dicho intervalo por ejemplo

    se observa al representar que el segmento queda por encima de la gráfica
    Por tanto se trata de una función estrictamente convexa.
     
  3. ¿Y la función -f5(x) es cóncava o convexa. Si la dibujamos obtenemos
que claramente estrictamente cóncava.

Consideremos otra función por ejemplo la función

si la representamos en todo R

¿cómo será la función concava o convexa?

Al representar en DERIVE con el comando Plot obtenemos

donde se puede observar que es estrictamente cóncava.

¿cómo será la función -f6b(x)?

Representándola obtenemos

se observa que es estrictamente convexa.

De esta observación podemos concluir la siguiente propiedad:
 

PROPIEDAD 1.

Si f es cóncava en M entonces -f es convexa en M y

Si f es convexa en M entonces -f es cóncava en M.

Si f es estrictamente convexa en M entonces - f es estrictamente cóncava en M

Si f es estrictamente cóncava en M entonces -f es estrictamente convexa en M
 
 
 
 

Consideremos ahora las funciones:
 
¿son cóncava o convexas en R?

Representamos la primera y obtenemos:

Luego es estrictamente convexa en R

Si representamos f8 tenemos
 

que es también estrictamente convexa en R.

Nos podríamos preguntar ahora

  1. ¿cómo es la función 3 f7(x)?

  2.  
    sigue siendo estrictamente convexa.
     
  3. ¿Y la función 4 f7 + 3 f8 ?

  4. Representando

    obtenemos
    que es estrictamente convexa.
     
  5. ¿cuál es el carácter de -4 f7?

  6. Editamos la expresión

    y representamos
    que es estrictamente cóncava
     
  7. ¿y de f7.f8?
Editamos la expresión
y obtenemos al pintar
no es ni cóncava ni convexa en R

¿qué conclusiones podemos obtener?
 

PROPIEDAD 2.
Si fi i=1,...,n son convexas en M entonces  es convexa en M

del mismo modo

Si fi i=1,...,n son concavas en M entonces  es concava en M
 

Demostración
Demostramos sólo la primera:
Si fi es convexa en M para todo i entonces

esto quiere decir que para cualquier ai>0

Entonces

y esto último es cierto si y sólo si

Con lo que queda demostrado que es convexa.

Tambien hemos mostrado un ejemplo de lo que sucede con el producto de funciones convexas, pudiéndose afirmar:
 
 

PROPIEDAD 3.

El producto de funciones concavas (resp. convexas) no ha de ser cóncava (resp. convexa).
 
 

CONDICION NECESARIA (FUNCIONES NO NECESARIAMENTE DIFERENCIABLES)

Teorema

Sea M un subconjunto convexo de Rn, sea f:Mà R. Entonces:

  1. Si f es convexa en M Þ para todo R se verifica que el conjunto

  2. es un conjunto CONVEXO.

  3. Si f es cóncava en M Þ para todo R se verifica que el conjunto
es un conjunto CONVEXO Demostración
  1. Consideremos un número a real cualquiera.

  2. Como f es convexa en un conjunto M (convexo de Rn) vamos a demostrar que el conjunto La es convexo.

    Consideremos do puntos cualesquiera 

    Como dichos puntos son del conjunto La entonces verifican que

    Como además f es convexa se verifica que

    luego se cumple que por tanto el conjunto  es convexo.

  3. Se demuestra de forma equivalente.

EJERCICIO VII-6

Dada las funciones

y
  1. Estudiar en ambas los conjuntos  y determinar si son o no conjuntos convexos.
  2. Intentar obtener algún resultado a partir de esta observación de la proposición anterior (condiciones necesarias)
SOLUCION:

Se puede observar que para f10 el conjunto  es un conjunto convexo no ocurre así para el conjunto  que no es convexo. Por tanto se puede concluir que la función f10 puede ser convexa pero que sin duda no es cóncava.

Para f11 se puede observar que tanto los conjuntos  como  son conjuntos convexox por lo que la función f11 puede ser cóncava y puede ser convexa ¿no nos dá condiciones suficientes.

Por este motivo vamos a introducir otras condiciones para funciones diferenciables.
 
 

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE DE FUNCIONES CONCAVAS Y CONVEXAS PARA FUNCIONES DIFERENCIABLES
 

TEOREMA. (c.n.s. de segundo orden)

Sea M un abierto y convexo de Rn. Sea f:Mà R una función diferenciable con derivadas parciales segundas continuas. Entonces:

  1. f es convexa en M Û 
  2. f es cóncava en M Û 
  3. Si  es d.p. para todo Þ f es estrictamente convexa en M
  4. Si  es d.n. para todo Þ f es estrictamente cóncava en M.


EJERCICIO VII-7

Aplicar este teorema para determinar si son cóncavas o convexas las siguientes funciones:

en el conjunto M={(x,y) Î R2/x>0,y>0}

SOLUCION.

Calculemos la matriz Hessiana de f12 mediante:


Clasifiquemos la matriz simétrica.

D1 =2 >0


D3<0 luego es indefinida por tanto no es concava ni convexa.

En el segundo caso.

La matriz hessiana es


reducida al conjunto M se cumple que

D1<0 y por otro lado

D2 que es el determinante de la matriz hessiana es


por tanto D2<0 luego es d.n. por lo que f13 es estrictamente cóncava en M.
 

EJERCICIO VII-8 Para qué valores de a y b es posible asegurar que el conjunto

M={(x,y,z)Î R3/x2+y2-3axy£ 0 y x+by+z>0}

SOLUCION.
M es convexo si lo son

M1 ={(x,y,z)Î R3/x2+y2-3axy£ 0} y
M2 ={(x,y,z)Î R3/x+by+z³ 0}
 

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