Coloquio Premio Rubio de Francia

En esta charla presentaremos tres problemas matemáticos de campos distintos: uno sobre estabilidad polinomial (análisis numérico), otro sobre estados de equilibrio en la esfera (teoría del potencial) y otro sobre una desigualdad de normas de polinomios (teoría de números). Todos ellos comparten la propiedad de poder ser traducidos a un problema de cómo distribuir puntos en una esfera de dimensión 2. Estudiaremos la traducción de los distintos problemas a un contexto común y daremos respuestas, algunas de ellas parciales y otras completas, a los mismos.

En esta charla presentaré nueva teoría y metodología para la estimación Bayesiana de funciones en grafos, con aplicaciones en aprendizaje semi-supervisado y problemas inversos en variedades. La presentación tendrá dos partes. En la primera, probaré la convergencia de la medida posterior según el número de nodos tiende a infinito. En la segunda, estudiaré cómo utilizar la convergencia de la medida posterior para diseñar métodos de muestreo cuya tasa de convergencia es independiente del número de nodos.

Unique continuation and Runge approximation properties generalize the well-known facts that holomorphic functions vanishing in a subset must vanish identically and that they can be approximated by polynomials (under mild conditions on the set of analyticity). In this talk I will review some of these dual properties for both local and nonlocal operators.We will see some applications, including the flexibility in the distribution of local hot spots for parabolic equations, and we will discuss their relevance in inverse problems.

María Ángeles García-Ferrero (León, 1991), ganadora del Premio José Luis Rubio de Francia 2019, es Doctora en Matemáticas por la U. Complutense de Madrid. En 2019 recibió el Premio Vicent Caselles de investigación matemática de la RSME y la Fundación BBVA.

Después de terminar su doctorado en el ICMAT bajo la dirección de Alberto Enciso, se incorporó al Instituto Max-Planck de Matemáticas en las Ciencias de Leipzig (Alemania). Actualmente es investigadora postdoctoral en la Universidad de Heidelberg (Alemania).

Sus intereses científicos incluyen las ecuaciones en derivadas parciales, la mecánica de fluidos, el análisis geométrico, los problemas inversos y la física matemática.

The classical obstacle problem is a free boundary problem that appears naturally in the study of the Stefan problem, the Frostman equilibrium measure, the Helle-Shaw flow, the Dam problem, or the pricing of American options. Caffarelli obtained in the 1970’s a fundamental breakthrough: he gave a robust sufficient condition that implies the local smoothness of the free boundary. Complementarily, in the last years we worked towards obtaining a more complete understanding of singularities. This has lead us to proving, in dimensions three and four, a conjecture of Schaeffer which asserts that for generic boundary data there are no singularities (although one can construct examples of boundary data and obstacles for which the singular set is as large as the regular set!).

Joaquim Serra (Barcelona 1986), ganador del Premio José Luis Rubio de Francia 2018, es Doctor en Matemáticas por la U. Politècnica de Catalunya. Ha recibido recientemente el Premio Antonio Valle de la SeMA y en 2016 recibió el premio Josep Teixidó de la Societat Catalana de Matematiques. Una vez finalizada su tesis doctoral en 2014 bajo la dirección de Xavier Cabré, realizó estancias posdoctorales en WIAS-Berlin y ETH-Zurich. Actualmente es SNF Ambizione Fellow en ETH-Zurich. Su campo de investigación son las ecuaciones en derivadas parciales elípticas.

The evolution of non-isolated quantum systems which interact weakly with an environment can be described by a semigroup of trace-preserving completely positive maps, an approach known as Markovian approximation. In this talk I will consider the case of many quantum particles arranged on a lattice, when the evolution converges to a unique steady state. A very natural quantity to study in this setting is the so-called mixing time, i.e. the time it takes for any initial state to reach a neighborhood of the fixed point. In particular, I will discuss the scaling of the mixing time as a function of the number of particles. If the mixing time scales sub-linearly, we will call the evolution rapidly mixing.

I will show that in the rapid mixing regime a number of very interesting properties of the system can be obtained. First of all, the evolution is stable, in the appropriate sense, under weak but extensive perturbations. Secondarily, the unique fixed point of the evolution has only short-ranged correlations, and it satisfies an area law for the mutual information. I will also comment on how the spectrum of the generator of the evolution does not contain enough information to determine whether a given system is rapidly mixing, and how one can use a quantum version of the log-Sobolev inequality to show it instead.