Investigadores del ICMAT demuestran una conjetura sobre “armonías cuánticas”

En 2019, durante la conferencia “Fourier Multipliers on Group Algebras” celebrada en la Université de Franche-Comté, Mikael de la Salle (École Normale Supérieure de Lyon) conjeturó la existencia de ciertas transformaciones, que extendían las excelentes propiedades de las integrales singulares a otros contextos que tienen origen en la mecánica cuántica.

Entre la audiencia se encontraba Javier Parcet –investigador científico del Consejo Superior de Investigaciones Científicas en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)– quien no tardó en encontrar conexiones entre dicha conjetura y otros operadores singulares, lo que le llevó a interpretar el problema con cierto optimismo.

Ahora, cuatro años después, publica sus resultados en la revista Annals of Mathematics junto con José M. Conde-Alonso (investigador Ramón y Cajal en la Universidad Autónoma de Madrid), Adrián M. González-Pérez (profesor ayudante doctor de la misma universidad) y Eduardo Tablate (estudiante de doctorado). Todos ellos son investigadores del ICMAT y han desarrollado, o desarrollan, sus tesis doctorales con Parcet. El equipo da una respuesta definitiva: sí existen esas transformaciones cuánticas.

En el mundo clásico –no cuántico– las integrales singulares son transformaciones que admiten una explosión controlada o singularidad aunque, a pesar de ello, gozan de buenas propiedades. Nacidas del análisis armónico, las integrales singulares clásicas tienen un gran impacto en la mecánica de fluidos, el procesamiento de imágenes, la termodinámica o la acústica, entre otros campos. La cuestión de partida es si es posible que este tipo de transformaciones aparezcan en el mundo cuántico con formas más generales.

De ser así, encontraríamos formas singulares de los llamados multiplicadores de Schur, unos misteriosos operadores que aparecen en resultados fundamentales de las matemáticas desde mediado el siglo XX, pero de los que se sabe muy poco. Surgen en las primeras contribuciones de Alexander Grothendieck (Medalla Fields en 1966); también en el trabajo del matemático danés Uffe Haagerup, quien conectó de forma magistral la geometría de grupos con el análisis de estas transformaciones; o en la reciente solución de la conjetura de Krein (1964) y la conjetura de Arazy (1982), por Potapov y Sukochev. Tras este nuevo trabajo de Parcet y su equipo, la demostración de estas conjeturas se reduce a una línea e incluso se obtiene una mejora sustancial de la última.

Armonías cuánticas

Javier Parcet utiliza una analogía con la música para explicar qué son los multiplicadores de Schur, la versión cuántica de los multiplicadores de Fourier. “La transformada de Fourier permite representar funciones como superposición de ondas o impulsos básicos, del mismo modo que una armonía musical es una superposición de tonos”, comienza Parcet. “Los multiplicadores de Fourier alteran la armonía, primando unos tonos e ignorando otros. Cuando en esta transformación aparece una explosión controlada en cierto punto, permitimos que los tonos aumenten muy rápido en su entorno, y el multiplicador de Fourier es una integral singular”, afirma.

En el contexto cuántico, estas transformaciones son insuficientes y tenemos que recurrir a los multiplicadores de Schur. “Los multiplicadores de Schur transforman matrices, que se pueden interpretar como armonías cuánticas y son más generales que las funciones, sus versiones clásicas”, concluye Parcet. La conjetura de Mikael de la Salle predice la existencia de singularidades cuánticas que no se dan en el contexto clásico. Gracias a este nuevo resultado, podemos asegurarlo. Esto cuantifica cuánto más flexibles son los multiplicadores de Schur en relación con los multiplicadores de Fourier.

Sobre uno de los problemas más difíciles en álgebras de operadores

La solución extiende un resultado fundamental del siglo XX –el Teorema de Hörmander-Mikhlin– al contexto matricial y tiene aplicaciones en matemática cuántica, conocida como álgebras de operadores. El famoso matemático John von Neumann, célebre por su participación en el Proyecto Manhattan o en el diseño del ordenador moderno, introdujo las llamadas álgebras de von Neumann como espacios que dan rigor matemático a la mecánica cuántica.

Alain Connes obtuvo la Medalla Fields en 1982 por haber clasificado una clase importante de dichos espacios. También conjeturó, en 1980, una posible clasificación de otra clase muy compleja de álgebras de von Neumann. Esta es la conjetura de rigidez de Connes, seguramente uno de los problemas más difíciles en álgebras de operadores.

Una estrategia reciente para demostrarla nace con el trabajo de Vincent Lafforgue y Mikael de la Salle (2011) y se fundamenta en análisis armónico cuántico. “Los tonos que emite un instrumento musical dan información sobre la geometría del instrumento. Por ejemplo, la profundidad de un tambor o la tensión de su parche afectan a las frecuencias que es capaz de producir.

Del mismo modo queremos escuchar las frecuencias que las álgebras de von Neumann son capaces de producir, para poder distinguir unas de otras”, explica Parcet. Para ello, estudian las formas cuánticas de multiplicadores de Fourier sobre álgebras de von Neumann. “Son extremadamente complejas y no se pueden identificar con multiplicadores de Fourier clásicos, pero sí con multiplicadores de Schur”, asegura el investigador.

“Para poder clasificar las álgebras de von Neumann que aparecen en la conjetura de rigidez de Connes, hace falta encontrar diferencias sutiles en las frecuencias emitidas, y eso impone entender en profundidad las explosiones controladas o singularidades. Nuestro trabajo sobre multiplicadores de Schur aporta mucha información, aunque estamos todavía lejos de una clasificación”, detalla Parcet.

La demostración de la conjetura de M. de la Salle combina diferentes técnicas, si bien la parte fundamental utiliza la teoría de Calderón-Zygmund no conmutativa, iniciada por Parcet en 2008 y desarrollada por él mismo con diversos coautores desde entonces.

El ICMAT

El Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) es un centro mixto del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) y tres universidades de Madrid: la Autónoma (UAM); Carlos III (UC3M); y Complutense (UCM). El ICMAT realiza investigación puntera en diversas áreas de las matemáticas y desde 2012 es uno de los centros españoles con el distintivo de excelencia Severo Ochoa, otorgado por el Ministerio de Ciencia e Innovación. Además, sus investigadores han obtenido doce de las prestigiosas ayudas del Consejo Europeo de Investigación (ERC), en las modalidades ‘Starting’, ‘Consolidator’ y ‘Advanced’, y una Cátedra Permanente de la AXA Research Fund.

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Referencia bibliográfica:

Conde-Alonso, J.M., González-Pérez, A.M., Parcet, J. y Tablate, E. (2023) Schur multipliers in Schatten-von Neumann classes. Annals of Mathematics. doi: 10.48550/arXiv.2201.05511

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