Las matemáticas: retos y soluciones

​​​​​​El Teorema de Imposibilidad de Arrow (1950)

 "No existe ningún método "razonable" para decidir cuál de entre 3 o más opciones prefiere un grupo de personas. El   único método para deducir la preferencia del grupo a partir de las preferencias de los individuos que satisface (tres)   condiciones naturales es que una persona decida por todos. Pero este sistema es "dictatorial" y, por tanto, no   razonable"

 Kenneth J. Arrow (Nueva York, 1921) es Profesor Emérito de Economía, Estadística e Investigación Operativa en la   Universidad de Stanford. En 1972 recibió el Premio Nobel de Economía, compartido con John R. Hicks, por sus   contribuciones a las teorías del equilibrio económico y del bienestar social, entre ellas este Teorema de Inexistencia.

La Conjetura de Kepler (1611) - Teorema de Hales (anuncio 1998 - publicación 2005/2006)       

"No hay una forma más eficaz de apilar naranjas que la que utilizan los fruteros de todo el mundo.Empaquetando como los fruteros, las naranjas ocupan aproximadamente el 74% del espacio"           

Thomas C. Hales trabajaba en la Universidad de Michigan cuando anunció la demostración de la Conjetura de Kepler. Actualmente es Profesor en la Universidad de Pittsburgh.   

El Teorema de Incompletitud de Gödel (1931)

"En todo sistema formal hay resultados verdaderos que no se pueden demostrar dentro del sistema"

Kurt Gödel nació en Brünn, Austria-Hungría (ahora Brno, República Checa) en 1906 y falleció en Princeton, U.S.A, en 1978. Era Profesor en la Universidad de Viena, pero una combinación de mala salud, haber sido tomado por judío (tras la ocupación de Austria por los Nazis) y el temor de ser reclutado por el ejercito alemán, le hicieron marchar a Estados Unidos. Allí fue miembro del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (1940-1953) e hizo gran amistad con Einstein, y luego Profesor de la Universidad de Princeton, donde su contrato especificaba que no tenía obligación de dar clase.

El último Teorema de Fermat (UTF, 1637) - Teorema de Wiles (1995)

 "Sea n≥3 un entero. No existen enteros no nulos x, y, z tales que xn+yn=zn"

 Andrews Wiles (Cambridge, 1953) es Profesor de la Universidad de Princeton (en 2011 se incorporará a Oxford). Éste es el momento en que anunció su demostración, en Cambridge, el 23 de junio de 1993.

La hipótesis de Riemann

Una demostración de la hipótesis de Rieman iluminará muchos de los misterios que aún rodean a los números primos

Los números primos juegan un papel importante tanto en la matemática pura como en las aplicaciones de las matemáticas. La forma en que se distribuyen los números primos entre todos los números naturales no sigue una forma determinada. Sin embargo el matemático alemán G. F. B. Riemann (1826-1886) observó que la frecuencia de los números primos está relacionada con el comportamiento de la función zeta de Riemann, y que es una función de la variable compleja s.

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Si ζ(1) = 0, existen una cantidad infinita de puntos racionales (soluciones) y, recíprocamente, si ζ(1) no es igual a 0, entonces sólo hay una cantidad finita de tales puntos.

Desde la Antigua Grecia, el problema de describir las soluciones enteras de ecuaciones de la forma  x2 + y2 = z2 ha fascinado a los matemáticos. Una solución en números enteros de esta ecuación es x=3, y=4, z=5. Euclides describió todas las soluciones enteras de esta ecuación. Para ecuaciones más complicadas este problema es mucho más difícil. En 1970, Yu. V. Matiyasevich demostró que el problema décimo de Hilbert es irresoluble, es decir, no hay ningún método general para determinar las soluciones enteras de tales ecuaciones. Pero algo puede decirse en casos especiales. Cuando las soluciones son los puntos de una variedad abeliana, la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer afirma que el tamaño del grupo de los puntos racionales está relacionado con el comportamiento de la función zeta ζ(s) cerca del punto s=1.

Las ecuaciones de Navier-Stokes

El reto es encontrar una teoría matemática que desvele los secretos que tienen escondidos las ecuaciones de Navier-Stokes.

Las ondas aparecen al paso de un bote que se desliza en un lago y en las corrientes de aire turbulento que se originan al paso de un avión. Los matemáticos y los físicos creen que para explicar por qué se generan estas ondas es necesario entender las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes. A pesar de que estas ecuaciones se conocen desde el siglo XIX, nuestro conocimiento sobre sus soluciones es pequeño.

La conjetura de Poincaré

Grigori Perelman anunció en el año 2002 que había demostrado la conjetura de Poincaré. Por este trabajo le fue concedida la Medalla Fields en el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Madrid en agosto de 2006. Perelman rechazó la medalla así como el premio del Clay Mathematics Institute.

Si estiramos una goma elástica alrededor de la superficie de una manzana podemos reducirla a un punto moviéndola lentamente, sin romperla y sin que deje de tocar la superficie. Por otro lado, si la misma goma elástica se ha colocado alrededor de la superficie de un donuts de manera adecuada, no hay manera de reducirla a un punto sin romper o bien la goma o el donuts. Decimos que la superficie de la manzana es simplemente conexa, mientras que la superficie del donuts no lo es. Hace más de cien años que H. Poincaré sabía que una esfera de dos dimensiones se caracteriza esencialmente por la propiedad de que es simplemente conexa.

Poincaré hizo la misma pregunta para esferas de tres dimensiones, el conjunto de puntos en un espacio de cuatro dimensiones cuya distancia al origen es una unidad. Esta pregunta ha resultado ser muy difícil y los matemáticos han estado luchando con ella desde entonces.

La teoría de Yang-Mills

Cualquier progreso que se haga para dar solidez matemática a la teoría de Yang-Mills requerirá el descubrimiento de nuevas ideas fundamentales tanto para la Física como para la Matemática.

Las leyes de la mecánica cuántica rigen el mundo de las partículas elementales, de la misma manera que las leyes de Newton de la mecánica clásica rigen el mundo macroscópico. Hace casi un siglo que Yang y Mills presentaron un nuevo marco para describir las partículas elementales usando estructuras que sólo aparecen en geometría. La teoría cuántica de Yang y Mills es actualmente la base de la teoría de partículas elementales, y sus predicciones se han comprobado de manera experimental en laboratorios, pero sus fundamentos matemáticos permanecen oscuros. El éxito de la teoría de Yang-Mills para describir las interacciones fuertes entre partículas elementales depende de una sutil propiedad de la mecánica cuántica llamada el salto de masa: las partículas cuánticas tienen masa positiva, aunque las ondas clásicas viajan a la velocidad de la luz. Esta propiedad ha sido descubierta por los físicos de manera experimental y confirmada mediante simulaciones en ordenador, pero aun no se comprende desde un punto de vista teórico.

El problema P contra NP

Stephen Cook y Leonid Levin formularon el problema independientemente en 1971: ver si existen soluciones P (es decir, fáciles de encontrar) de problemas que parecen ser NP (es decir, que se pueden escribir todas las soluciones pero se tardaría muchísimo tiempo).

La conjetura de Hodge

La conjetura de Hodge dice que para ciertos tipos de espacios, llamados variedades proyectivas algebraicas, algunos ladrillos que las componen, los llamados ciclos de Hodge, son de hecho combinaciones de ladrillos geométricos llamados ciclos algebraicos.

En el siglo XX los matemáticos descubrieron muchas maneras de investigar las formas de objetos complicados. La idea básica es considerar si es posible aproximar la forma de un objeto pegando ladrillos geométricos elementales de dimensión creciente. Esta técnica resultó ser tan útil que se ha generalizado de muchas maneras, permitiendo a los matemáticos realizar grandes progresos para catalogar todas las variedades de objetos que aparecen en sus investigaciones.

Desafortunadamente, los orígenes geométricos de este procedimiento se han perdido al hacer estas generalizaciones. Se puede decir que era necesario añadir ladrillos que no tenían una clara interpretación geométrica.

La aplicación de técnicas clásicas de optimización en el diseño de perfiles aerodinámicos requiere un enorme coste computacional. Esto es debido fundamentalmente a dos factores:

• La complejidad de las ecuaciones que modelizan el aire alrededor de la aeronave. 
• La gran variedad de perfiles aerodinámicos existentes entre los que habría que optimizar, si se desean abordar problemas relevantes.

La aplicación de la Teoría del Control reduce significativamente el coste computacional para este tipo de problemas. La colaboración de instituciones académicas y, en concreto, la aportación del Departamento de Matemáticas de la UAM está permitiendo una mayor comprensión de las dificultades matemáticas y numéricas que repercute en una mayor eficacia de los códigos numéricos desarrollados.

"Observad el movimiento de la superficie del agua, que se asemeja al del cabello, que tiene dos movimientos, de los cuales uno es causado por su propio peso, el otro por la dirección de los remolinos; por tanto el agua tiene movimientos rotatorios, una parte de los cuales se debe a la corriente principal, y la otra a un movimiento inverso y aleatorio.“ Leonardo da Vinci, 1510

Las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes

El análisis matemático de los fluidos es muy difícil y tiene abiertos muchos problemas  fundamentales. Al contrario de lo que ocurre con otras teorías clásicas como la electromagnética o cuántica, descritas por ecuacionesEl en derivadas parciales lineales (las de Maxwell y Schrödinger respectivamente), el movimiento de los fluidos obedece a unas ecuaciones que no son lineales: Las ecuaciones de Euler y de Navier-Stokes.

Torbellinos

A menudo los fluidos desarrollan estructuras en forma de torbellinos, también conocidos como vórtices, que son capaces de concentrar una gran cantidad de energía en una pequeña región del espacio y tener una gran capacidad destructiva. Estos vórtices pueden subsistir por largos periodos de tiempo y desplazarse en el espacio como hacen  los tornados.

Gotas

¿Por qué son las gotas esféricas?La razón está en la tendencia de su superficie a ocupar la mínima área posible, que  da lugar a fenómenos interesantes de cambio de topología. Un ejemplo es un chorro de agua que se rompe en un conjunto de fragmentos disconexos (gotas).

Ondas: olas

¿Qué son las olas? Son soluciones en forma de onda para las ecuaciones de Navier-Stokes o Euler, análogas a las que se obtienen en las ecuaciones del electromagnetismo (ondas de radio o de televisión). Estas ondas pueden tener longitudes del orden de centímetros, como son las llamadas ondas capilares, o  del orden de kilómetros, como son los tristemente célebres tsunamis. También pueden aparecer, bajo ciertas circunstancias, en el tipo de nubes que muestra la figura.

A partir del año 2021, se inició en la Antártida el proyecto LIMNOPOLAR. Es un proyecto internacional, cuya vertiente española está subvencionada por el Ministerio de Ciencia y Tecnología. El objetivo fundamental que persigue es estudiar cómo los ecosistemas de los lagos y los ríos de la Península Byers, responden a un posible cambio climático, que significaría previsiblemente un aumento de las temperaturas y precipitaciones.

Ana Justel, profesora del Departamento de Matemáticas de la UAM, ha participado en diversas expediciones, con la misión de elaborar modelos de cambio climático aplicando las matemáticas, en concreto, su especialidad: la estadística.

Como resultado de este trabajo, Ana Justel publicó en 2009 Estadística en la Antártida, donde da respuesta al interrogante que puede surgir al pensar... ¿qué hace un matemático en la Antártida?

¿Qué es un número primo?

"Un número primo es un número natural mayor que 1 que sólo es divisible por sí mismo y por 1".

El primo más grande

Aunque son infinitos y por tanto no existe el mayor, el primo más grande que se conoce hasta la fecha es un primo de Mersenne (más concretamente el cuadragésimo quinto conocido) y fue descubierto en agosto de 2008, gracias al proyecto Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) en el que miles de ordenadores de todo el mundo trabajan con el algoritmo descrito de Lucas-Lehmer. El número en cuestión es M43.112.609 = 243.112.609 – 1 y tiene 12.979.189 cifras.

¿Cómo se calculan?

Para saber cuáles son los números primos podemos recurrir al método conocido como criba de Eratóstenes. Consiste en lo siguiente:

Se escriben los números desde el 2 en delante. Se rodea el 2 (es primo) y a continuación se tachan los números que sean múltiples de 2.

Se rodea al primer número que haya sobrevivido, en este caso el 3 (es primo) y a continuación se tachan todos los números que sean múltiplos de 3.Se sigue rodeando el primer número que haya sobrevivido y tachando todos sus múltiplos. Al final quedan rodeados sólo los números primos.

Primos de Mersenne

Para que un número de la forma 2n - 1 sea primo, n tiene que ser primo. Los números de la forma Mp = 2p - 1, con p primo reciben el nombre de números de Mersenne. Pero no todos los números de Mersenne son primos, por ejemplo para p=11 tenemos M11 = 211 – 1 = 2047 = 23 x 89. Los primos de la forma 2p - 1 se conocen como primos de Mersenne.

Primos grandes, ¿para qué?

Los primos grandes se emplean a diario en cuestiones relacionadas con seguridad y privacidad de datos: enviar mensajes, comprar por Internet, hacer operaciones bancarias…

Los sistemas empleados se basan en que con un ordenador es muy sencillo multiplicar dos primos grandes, pero en cambio es “dificilísimo” factorizar un producto de dos primos grandes, es decir, saber cuáles son los dos primos cuyo producto es el número dado. Así, si cada usuario tiene una clave pública que sirva para codificar mensajes dirigidos a él (consistente en un producto de dos primos muy grandes) y una clave privada que sirva para descifrar los mensajes (consistente en los dos primos), cualquiera podrá enviarle mensajes seguros, que sólo él podrá descifrar.

Haciendo una analogía con candados y cajas, es como si cada usuario repartiera a todo el resto candados (clave pública) de los que sólo él tiene la llave (clave privada). Quien quiera mandarle un mensaje seguro, lo mete en una caja y la cierra con el candado (eso es fácil) pero una vez cerrado sólo quien tenga la llave podrá abrirlo (sin la llave es difícil).

Las imágenes digitales están formadas por puntitos de colores. Para comprender la representación de imágenes debemos imaginarnos una malla invisible de pequeños rectángulos, cada uno de un color. Cada uno de los rectángulos de la malla se llama píxel (término abreviado del inglés "picture element"). Si cada color está representado por un número, una descripción  detallada del color de cada píxel y el lugar que éstos ocupan permite reproducir la imagen. 

Todos los colores pueden obtenerse a partir de los colores fundamentales ROJO, VERDE y AZUL, Sistema (R,G,B). Distintas luminosidades de cada uno de estos colores   produce una gama que varía del negro al blanco. Cada una de estas luminosidades se representa con un número entre el 0 = NEGRO y el 255 = BLANCO. La   superposición de estos colores primarios y sus luminosidades producen los colores.

Pincha sobre el póster para ampliar la información sobre la representación matemática de las imágenes. La teoría matemática de las ondículas y sus aplicaciones al tratamiento de imágenes es uno de los temas de investigación de varios de los miembros del Grupo de Análisis de Fourier y Aplicaciones del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid.

Eugenio Hernández Rodríguez, licenciado en Matemáticas por la Universidad Complutense de Madrid, realizó la tesis doctoral en la Washington University de Saint Louis entre 1977 y 1982, fecha a partir de la cual se incorpora a la Universidad Autónoma de Madrid, en la que actualmente es profesor titular de Análisis Matemático.

Docente por vocación, ha escrito varios libros de texto para licenciados, ha colaborado en algunos para bachillerato, es coautor de A first course on wavelets, libro de introducción a la investigación en teoría de ondículas y, desde 1999, está inmerso en el proyecto ESTALMAT (detección y estímulo del talento matemático), del que es el coordinador para toda España desde 2004.

VE EN VÍDEO LA CONFERENCIA:  "Un paseo matemático por la dimensión"  Prof. Eugenio Hernández Rodríguez.